Preparazione all'algebra Esempi

2 y^{6} - 5 y^{3} + 5

$2 y^{6} - 5 y^{3} + 5$ ,

- (8 y^{6} + 15 y^{3} + 6)

$- (8 y^{6} + 15 y^{3} + 6)$

Passaggio 1

Raggruppa i termini.

2 y^{6} - (8 y^{6} + 15 y^{3} + 6) - 5 y^{3} + 5

$2 y^{6} - (8 y^{6} + 15 y^{3} + 6) - 5 y^{3} + 5$

Passaggio 2

Applica la proprietà distributiva.

2 y^{6} - (8 y^{6}) - (15 y^{3}) - 1 \cdot 6 - 5 y^{3} + 5

$2 y^{6} - (8 y^{6}) - (15 y^{3}) - 1 \cdot 6 - 5 y^{3} + 5$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica

8

$8$ per

- 1

$- 1$ .

2 y^{6} - 8 y^{6} - (15 y^{3}) - 1 \cdot 6 - 5 y^{3} + 5

$2 y^{6} - 8 y^{6} - (15 y^{3}) - 1 \cdot 6 - 5 y^{3} + 5$

Passaggio 3.2

Moltiplica

15

$15$ per

- 1

$- 1$ .

2 y^{6} - 8 y^{6} - 15 y^{3} - 1 \cdot 6 - 5 y^{3} + 5

$2 y^{6} - 8 y^{6} - 15 y^{3} - 1 \cdot 6 - 5 y^{3} + 5$

Passaggio 3.3

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

6

$6$ .

2 y^{6} - 8 y^{6} - 15 y^{3} - 6 - 5 y^{3} + 5

$2 y^{6} - 8 y^{6} - 15 y^{3} - 6 - 5 y^{3} + 5$

2 y^{6} - 8 y^{6} - 15 y^{3} - 6 - 5 y^{3} + 5

$2 y^{6} - 8 y^{6} - 15 y^{3} - 6 - 5 y^{3} + 5$

Passaggio 4

Sottrai

8 y^{6}

$8 y^{6}$ da

2 y^{6}

$2 y^{6}$ .

- 6 y^{6} - 15 y^{3} - 6 - 5 y^{3} + 5

$- 6 y^{6} - 15 y^{3} - 6 - 5 y^{3} + 5$

Passaggio 5

Riscrivi

- 6 y^{6} - 15 y^{3} - 6

$- 6 y^{6} - 15 y^{3} - 6$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Scomponi

- 3

$- 3$ da

- 6 y^{6} - 15 y^{3} - 6

$- 6 y^{6} - 15 y^{3} - 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Scomponi

- 3

$- 3$ da

- 6 y^{6}

$- 6 y^{6}$ .

- 3 (2 y^{6}) - 15 y^{3} - 6 - 5 y^{3} + 5

$- 3 (2 y^{6}) - 15 y^{3} - 6 - 5 y^{3} + 5$

Passaggio 5.1.2

Scomponi

- 3

$- 3$ da

- 15 y^{3}

$- 15 y^{3}$ .

- 3 (2 y^{6}) - 3 (5 y^{3}) - 6 - 5 y^{3} + 5

$- 3 (2 y^{6}) - 3 (5 y^{3}) - 6 - 5 y^{3} + 5$

Passaggio 5.1.3

Scomponi

- 3

$- 3$ da

- 6

$- 6$ .

- 3 (2 y^{6}) - 3 (5 y^{3}) - 3 (2) - 5 y^{3} + 5

$- 3 (2 y^{6}) - 3 (5 y^{3}) - 3 (2) - 5 y^{3} + 5$

Passaggio 5.1.4

Scomponi

- 3

$- 3$ da

- 3 (2 y^{6}) - 3 (5 y^{3})

$- 3 (2 y^{6}) - 3 (5 y^{3})$ .

- 3 (2 y^{6} + 5 y^{3}) - 3 (2) - 5 y^{3} + 5

$- 3 (2 y^{6} + 5 y^{3}) - 3 (2) - 5 y^{3} + 5$

Passaggio 5.1.5

Scomponi

- 3

$- 3$ da

- 3 (2 y^{6} + 5 y^{3}) - 3 (2)

$- 3 (2 y^{6} + 5 y^{3}) - 3 (2)$ .

- 3 (2 y^{6} + 5 y^{3} + 2) - 5 y^{3} + 5

$- 3 (2 y^{6} + 5 y^{3} + 2) - 5 y^{3} + 5$

- 3 (2 y^{6} + 5 y^{3} + 2) - 5 y^{3} + 5

$- 3 (2 y^{6} + 5 y^{3} + 2) - 5 y^{3} + 5$

Passaggio 5.2

Riscrivi

y^{6}

$y^{6}$ come

{(y^{3})}^{2}

${(y^{3})}^{2}$ .

- 3 (2 {(y^{3})}^{2} + 5 y^{3} + 2) - 5 y^{3} + 5

$- 3 (2 {(y^{3})}^{2} + 5 y^{3} + 2) - 5 y^{3} + 5$

Passaggio 5.3

Sia

u = y^{3}

$u = y^{3}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di

y^{3}

$y^{3}$ con

u

$u$ .

- 3 (2 u^{2} + 5 u + 2) - 5 y^{3} + 5

$- 3 (2 u^{2} + 5 u + 2) - 5 y^{3} + 5$

Passaggio 5.4

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Per un polinomio della forma

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è

a \cdot c = 2 \cdot 2 = 4

$a \cdot c = 2 \cdot 2 = 4$ e la cui somma è

b = 5

$b = 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.1

Scomponi

5

$5$ da

5 u

$5 u$ .

- 3 (2 u^{2} + 5 (u) + 2) - 5 y^{3} + 5

$- 3 (2 u^{2} + 5 (u) + 2) - 5 y^{3} + 5$

Passaggio 5.4.1.2

Riscrivi

5

$5$ come

1

$1$ più

4

$4$ .

- 3 (2 u^{2} + (1 + 4) u + 2) - 5 y^{3} + 5

$- 3 (2 u^{2} + (1 + 4) u + 2) - 5 y^{3} + 5$

Passaggio 5.4.1.3

Applica la proprietà distributiva.

- 3 (2 u^{2} + 1 u + 4 u + 2) - 5 y^{3} + 5

$- 3 (2 u^{2} + 1 u + 4 u + 2) - 5 y^{3} + 5$

Passaggio 5.4.1.4

Moltiplica

u

$u$ per

1

$1$ .

- 3 (2 u^{2} + u + 4 u + 2) - 5 y^{3} + 5

$- 3 (2 u^{2} + u + 4 u + 2) - 5 y^{3} + 5$

- 3 (2 u^{2} + u + 4 u + 2) - 5 y^{3} + 5

$- 3 (2 u^{2} + u + 4 u + 2) - 5 y^{3} + 5$

Passaggio 5.4.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

- 3 ((2 u^{2} + u) + 4 u + 2) - 5 y^{3} + 5

$- 3 ((2 u^{2} + u) + 4 u + 2) - 5 y^{3} + 5$

Passaggio 5.4.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$- 3 (u (2 u + 1) + 2 (2 u + 1)) - 5 y^{3} + 5$

Passaggio 5.4.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore,

$2 u + 1$ .

$- 3 ((2 u + 1) (u + 2)) - 5 y^{3} + 5$

Passaggio 5.5

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Sostituisci tutte le occorrenze di

$u$ con

$y^{3}$ .

$- 3 ((2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2)) - 5 y^{3} + 5$

Passaggio 5.5.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- 3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2) - 5 y^{3} + 5$

Passaggio 6

Scomponi

$- 5$ da

$- 5 y^{3} + 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Scomponi

$- 5$ da

$- 5 y^{3}$ .

$- 3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2) - 5 (y^{3}) + 5$

Passaggio 6.2

Scomponi

$- 5$ da

$5$ .

$- 3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2) - 5 (y^{3}) - 5 (- 1)$

Passaggio 6.3

Scomponi

$- 5$ da

$- 5 (y^{3}) - 5 (- 1)$ .

$- 3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2) - 5 (y^{3} - 1)$

Passaggio 7

Riscrivi

$1$ come

$1^{3}$ .

$- 3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2) - 5 (y^{3} - 1^{3})$

Passaggio 8

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di cubi,

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove

$a = y$ e

$b = 1$ .

$- 3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2) - 5 ((y - 1) (y^{2} + y \cdot 1 + 1^{2}))$

Passaggio 9

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Moltiplica

$y$ per

$1$ .

$- 3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2) - 5 ((y - 1) (y^{2} + y + 1^{2}))$

Passaggio 9.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- 3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2) - 5 ((y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Passaggio 9.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- 3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2) - 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1)$

Passaggio 10

Scomponi

$- 1$ da

$- 3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2) - 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Scomponi

$- 1$ da

$- 3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2)$ .

$- (3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2)) - 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1)$

Passaggio 10.2

Scomponi

$- 1$ da

$- 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1)$ .

$- (3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2)) - (5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Passaggio 10.3

Scomponi

$- 1$ da

$- (3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2)) - (5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$ .

$- (3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2) + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Passaggio 11

Applica la proprietà distributiva.

$- ((3 (2 y^{3}) + 3 \cdot 1) (y^{3} + 2) + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Passaggio 12

Moltiplica

$2$ per

$3$ .

$- ((6 y^{3} + 3 \cdot 1) (y^{3} + 2) + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Passaggio 13

Moltiplica

$3$ per

$1$ .

$- ((6 y^{3} + 3) (y^{3} + 2) + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Passaggio 14

Espandi

$(6 y^{3} + 3) (y^{3} + 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Applica la proprietà distributiva.

$- (6 y^{3} (y^{3} + 2) + 3 (y^{3} + 2) + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Passaggio 14.2

Applica la proprietà distributiva.

$- (6 y^{3} y^{3} + 6 y^{3} \cdot 2 + 3 (y^{3} + 2) + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Passaggio 14.3

Applica la proprietà distributiva.

$- (6 y^{3} y^{3} + 6 y^{3} \cdot 2 + 3 y^{3} + 3 \cdot 2 + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Passaggio 15

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.1

Moltiplica

$y^{3}$ per

$y^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.1.1

Sposta

$y^{3}$ .

$- (6 (y^{3} y^{3}) + 6 y^{3} \cdot 2 + 3 y^{3} + 3 \cdot 2 + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Passaggio 15.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- (6 y^{3 + 3} + 6 y^{3} \cdot 2 + 3 y^{3} + 3 \cdot 2 + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Passaggio 15.1.1.3

Somma

$3$ e

$3$ .

$- (6 y^{6} + 6 y^{3} \cdot 2 + 3 y^{3} + 3 \cdot 2 + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Passaggio 15.1.2

Moltiplica

$2$ per

$6$ .

$- (6 y^{6} + 12 y^{3} + 3 y^{3} + 3 \cdot 2 + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Passaggio 15.1.3

Moltiplica

$3$ per

$2$ .

$- (6 y^{6} + 12 y^{3} + 3 y^{3} + 6 + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Passaggio 15.2

Somma

$12 y^{3}$ e

$3 y^{3}$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Passaggio 16

Applica la proprietà distributiva.

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + (5 y + 5 \cdot - 1) (y^{2} + y + 1))$

Passaggio 17

Moltiplica

$5$ per

$- 1$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + (5 y - 5) (y^{2} + y + 1))$

Passaggio 18

Espandi

$(5 y - 5) (y^{2} + y + 1)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 y \cdot y^{2} + 5 y \cdot y + 5 y \cdot 1 - 5 y^{2} - 5 y - 5 \cdot 1)$

Passaggio 19

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1

Moltiplica

$y$ per

$y^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1.1

Sposta

$y^{2}$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 (y^{2} y) + 5 y \cdot y + 5 y \cdot 1 - 5 y^{2} - 5 y - 5 \cdot 1)$

Passaggio 19.1.2

Moltiplica

$y^{2}$ per

$y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1.2.1

Eleva

$y$ alla potenza di

$1$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 (y^{2} y^{1}) + 5 y \cdot y + 5 y \cdot 1 - 5 y^{2} - 5 y - 5 \cdot 1)$

Passaggio 19.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 y^{2 + 1} + 5 y \cdot y + 5 y \cdot 1 - 5 y^{2} - 5 y - 5 \cdot 1)$

Passaggio 19.1.3

Somma

$2$ e

$1$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 y^{3} + 5 y \cdot y + 5 y \cdot 1 - 5 y^{2} - 5 y - 5 \cdot 1)$

Passaggio 19.2

Moltiplica

$y$ per

$y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1

Sposta

$y$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 y^{3} + 5 (y \cdot y) + 5 y \cdot 1 - 5 y^{2} - 5 y - 5 \cdot 1)$

Passaggio 19.2.2

Moltiplica

$y$ per

$y$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 y^{3} + 5 y^{2} + 5 y \cdot 1 - 5 y^{2} - 5 y - 5 \cdot 1)$

Passaggio 19.3

Moltiplica

$5$ per

$1$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 y^{3} + 5 y^{2} + 5 y - 5 y^{2} - 5 y - 5 \cdot 1)$

Passaggio 19.4

Moltiplica

$- 5$ per

$1$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 y^{3} + 5 y^{2} + 5 y - 5 y^{2} - 5 y - 5)$

Passaggio 20

Combina i termini opposti in

$5 y^{3} + 5 y^{2} + 5 y - 5 y^{2} - 5 y - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.1

Sottrai

$5 y^{2}$ da

$5 y^{2}$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 y^{3} + 5 y + 0 - 5 y - 5)$

Passaggio 20.2

Somma

$5 y^{3} + 5 y$ e

$0$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 y^{3} + 5 y - 5 y - 5)$

Passaggio 20.3

Sottrai

$5 y$ da

$5 y$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 y^{3} + 0 - 5)$

Passaggio 20.4

Somma

$5 y^{3}$ e

$0$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 y^{3} - 5)$

Passaggio 21

Somma

$15 y^{3}$ e

$5 y^{3}$ .

$- (6 y^{6} + 20 y^{3} + 6 - 5)$

Passaggio 22

Sottrai

$5$ da

$6$ .

$- (6 y^{6} + 20 y^{3} + 1)$

Passaggio 23

Il massimo comune divisore

$GCF$ è il termine davanti all'espressione fattorizzata.

$- 1$