Preparazione all'algebra Esempi

$2 y^{6} - 5 y^{3} + 5$ , $- (8 y^{6} + 15 y^{3} + 6)$

Passaggio 1

Raggruppa i termini.

$2 y^{6} - (8 y^{6} + 15 y^{3} + 6) - 5 y^{3} + 5$

Passaggio 2

Applica la proprietà distributiva.

$2 y^{6} - (8 y^{6}) - (15 y^{3}) - 1 \cdot 6 - 5 y^{3} + 5$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$2 y^{6} - 8 y^{6} - (15 y^{3}) - 1 \cdot 6 - 5 y^{3} + 5$

Passaggio 3.2

Moltiplica $15$ per $- 1$ .

$2 y^{6} - 8 y^{6} - 15 y^{3} - 1 \cdot 6 - 5 y^{3} + 5$

Passaggio 3.3

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$2 y^{6} - 8 y^{6} - 15 y^{3} - 6 - 5 y^{3} + 5$

Passaggio 4

Sottrai $8 y^{6}$ da $2 y^{6}$ .

$- 6 y^{6} - 15 y^{3} - 6 - 5 y^{3} + 5$

Passaggio 5

Riscrivi $- 6 y^{6} - 15 y^{3} - 6$ in una forma fattorizzata.

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Passaggio 5.1

Scomponi $- 3$ da $- 6 y^{6} - 15 y^{3} - 6$ .

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Passaggio 5.1.1

Scomponi $- 3$ da $- 6 y^{6}$ .

$- 3 (2 y^{6}) - 15 y^{3} - 6 - 5 y^{3} + 5$

Passaggio 5.1.2

Scomponi $- 3$ da $- 15 y^{3}$ .

$- 3 (2 y^{6}) - 3 (5 y^{3}) - 6 - 5 y^{3} + 5$

Passaggio 5.1.3

Scomponi $- 3$ da $- 6$ .

$- 3 (2 y^{6}) - 3 (5 y^{3}) - 3 (2) - 5 y^{3} + 5$

Passaggio 5.1.4

Scomponi $- 3$ da $- 3 (2 y^{6}) - 3 (5 y^{3})$ .

$- 3 (2 y^{6} + 5 y^{3}) - 3 (2) - 5 y^{3} + 5$

Passaggio 5.1.5

Scomponi $- 3$ da $- 3 (2 y^{6} + 5 y^{3}) - 3 (2)$ .

$- 3 (2 y^{6} + 5 y^{3} + 2) - 5 y^{3} + 5$

Passaggio 5.2

Riscrivi $y^{6}$ come ${(y^{3})}^{2}$ .

$- 3 (2 {(y^{3})}^{2} + 5 y^{3} + 2) - 5 y^{3} + 5$

Passaggio 5.3

Sia $u = y^{3}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $y^{3}$ con $u$ .

$- 3 (2 u^{2} + 5 u + 2) - 5 y^{3} + 5$

Passaggio 5.4

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 5.4.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot 2 = 4$ e la cui somma è $b = 5$ .

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Passaggio 5.4.1.1

Scomponi $5$ da $5 u$ .

$- 3 (2 u^{2} + 5 (u) + 2) - 5 y^{3} + 5$

Passaggio 5.4.1.2

Riscrivi $5$ come $1$ più $4$ .

$- 3 (2 u^{2} + (1 + 4) u + 2) - 5 y^{3} + 5$

Passaggio 5.4.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$- 3 (2 u^{2} + 1 u + 4 u + 2) - 5 y^{3} + 5$

Passaggio 5.4.1.4

Moltiplica $u$ per $1$ .

$- 3 (2 u^{2} + u + 4 u + 2) - 5 y^{3} + 5$

Passaggio 5.4.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 5.4.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$- 3 ((2 u^{2} + u) + 4 u + 2) - 5 y^{3} + 5$

Passaggio 5.4.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$- 3 (u (2 u + 1) + 2 (2 u + 1)) - 5 y^{3} + 5$

Passaggio 5.4.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 u + 1$ .

$- 3 ((2 u + 1) (u + 2)) - 5 y^{3} + 5$

Passaggio 5.5

Scomponi.

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Passaggio 5.5.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y^{3}$ .

$- 3 ((2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2)) - 5 y^{3} + 5$

Passaggio 5.5.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- 3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2) - 5 y^{3} + 5$

Passaggio 6

Scomponi $- 5$ da $- 5 y^{3} + 5$ .

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Passaggio 6.1

Scomponi $- 5$ da $- 5 y^{3}$ .

$- 3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2) - 5 (y^{3}) + 5$

Passaggio 6.2

Scomponi $- 5$ da $5$ .

$- 3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2) - 5 (y^{3}) - 5 (- 1)$

Passaggio 6.3

Scomponi $- 5$ da $- 5 (y^{3}) - 5 (- 1)$ .

$- 3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2) - 5 (y^{3} - 1)$

Passaggio 7

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

$- 3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2) - 5 (y^{3} - 1^{3})$

Passaggio 8

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = y$ e $b = 1$ .

$- 3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2) - 5 ((y - 1) (y^{2} + y \cdot 1 + 1^{2}))$

Passaggio 9

Scomponi.

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Passaggio 9.1

Semplifica.

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Passaggio 9.1.1

Moltiplica $y$ per $1$ .

$- 3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2) - 5 ((y - 1) (y^{2} + y + 1^{2}))$

Passaggio 9.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- 3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2) - 5 ((y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Passaggio 9.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- 3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2) - 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1)$

Passaggio 10

Scomponi $- 1$ da $- 3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2) - 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1)$ .

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Passaggio 10.1

Scomponi $- 1$ da $- 3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2)$ .

$- (3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2)) - 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1)$

Passaggio 10.2

Scomponi $- 1$ da $- 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1)$ .

$- (3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2)) - (5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Passaggio 10.3

Scomponi $- 1$ da $- (3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2)) - (5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$ .

$- (3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2) + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Passaggio 11

Applica la proprietà distributiva.

$- ((3 (2 y^{3}) + 3 \cdot 1) (y^{3} + 2) + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Passaggio 12

Moltiplica $2$ per $3$ .

$- ((6 y^{3} + 3 \cdot 1) (y^{3} + 2) + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Passaggio 13

Moltiplica $3$ per $1$ .

$- ((6 y^{3} + 3) (y^{3} + 2) + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Passaggio 14

Espandi $(6 y^{3} + 3) (y^{3} + 2)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 14.1

Applica la proprietà distributiva.

$- (6 y^{3} (y^{3} + 2) + 3 (y^{3} + 2) + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Passaggio 14.2

Applica la proprietà distributiva.

$- (6 y^{3} y^{3} + 6 y^{3} \cdot 2 + 3 (y^{3} + 2) + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Passaggio 14.3

Applica la proprietà distributiva.

$- (6 y^{3} y^{3} + 6 y^{3} \cdot 2 + 3 y^{3} + 3 \cdot 2 + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Passaggio 15

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 15.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 15.1.1

Moltiplica $y^{3}$ per $y^{3}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 15.1.1.1

Sposta $y^{3}$ .

$- (6 (y^{3} y^{3}) + 6 y^{3} \cdot 2 + 3 y^{3} + 3 \cdot 2 + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Passaggio 15.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- (6 y^{3 + 3} + 6 y^{3} \cdot 2 + 3 y^{3} + 3 \cdot 2 + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Passaggio 15.1.1.3

Somma $3$ e $3$ .

$- (6 y^{6} + 6 y^{3} \cdot 2 + 3 y^{3} + 3 \cdot 2 + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Passaggio 15.1.2

Moltiplica $2$ per $6$ .

$- (6 y^{6} + 12 y^{3} + 3 y^{3} + 3 \cdot 2 + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Passaggio 15.1.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$- (6 y^{6} + 12 y^{3} + 3 y^{3} + 6 + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Passaggio 15.2

Somma $12 y^{3}$ e $3 y^{3}$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Passaggio 16

Applica la proprietà distributiva.

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + (5 y + 5 \cdot - 1) (y^{2} + y + 1))$

Passaggio 17

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + (5 y - 5) (y^{2} + y + 1))$

Passaggio 18

Espandi $(5 y - 5) (y^{2} + y + 1)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 y \cdot y^{2} + 5 y \cdot y + 5 y \cdot 1 - 5 y^{2} - 5 y - 5 \cdot 1)$

Passaggio 19

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 19.1

Moltiplica $y$ per $y^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 19.1.1

Sposta $y^{2}$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 (y^{2} y) + 5 y \cdot y + 5 y \cdot 1 - 5 y^{2} - 5 y - 5 \cdot 1)$

Passaggio 19.1.2

Moltiplica $y^{2}$ per $y$ .

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Passaggio 19.1.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 (y^{2} y^{1}) + 5 y \cdot y + 5 y \cdot 1 - 5 y^{2} - 5 y - 5 \cdot 1)$

Passaggio 19.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 y^{2 + 1} + 5 y \cdot y + 5 y \cdot 1 - 5 y^{2} - 5 y - 5 \cdot 1)$

Passaggio 19.1.3

Somma $2$ e $1$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 y^{3} + 5 y \cdot y + 5 y \cdot 1 - 5 y^{2} - 5 y - 5 \cdot 1)$

Passaggio 19.2

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 19.2.1

Sposta $y$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 y^{3} + 5 (y \cdot y) + 5 y \cdot 1 - 5 y^{2} - 5 y - 5 \cdot 1)$

Passaggio 19.2.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 y^{3} + 5 y^{2} + 5 y \cdot 1 - 5 y^{2} - 5 y - 5 \cdot 1)$

Passaggio 19.3

Moltiplica $5$ per $1$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 y^{3} + 5 y^{2} + 5 y - 5 y^{2} - 5 y - 5 \cdot 1)$

Passaggio 19.4

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 y^{3} + 5 y^{2} + 5 y - 5 y^{2} - 5 y - 5)$

Passaggio 20

Combina i termini opposti in $5 y^{3} + 5 y^{2} + 5 y - 5 y^{2} - 5 y - 5$ .

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Passaggio 20.1

Sottrai $5 y^{2}$ da $5 y^{2}$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 y^{3} + 5 y + 0 - 5 y - 5)$

Passaggio 20.2

Somma $5 y^{3} + 5 y$ e $0$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 y^{3} + 5 y - 5 y - 5)$

Passaggio 20.3

Sottrai $5 y$ da $5 y$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 y^{3} + 0 - 5)$

Passaggio 20.4

Somma $5 y^{3}$ e $0$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 y^{3} - 5)$

Passaggio 21

Somma $15 y^{3}$ e $5 y^{3}$ .

$- (6 y^{6} + 20 y^{3} + 6 - 5)$

Passaggio 22

Sottrai $5$ da $6$ .

$- (6 y^{6} + 20 y^{3} + 1)$

Passaggio 23

Il massimo comune divisore $GCF$ è il termine davanti all'espressione fattorizzata.

$- 1$