Preparazione all'algebra Esempi

$(- 3, 8)$ , $(2, - 2)$

Passaggio 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Passaggio 2

Find the dot product.

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Passaggio 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 3 \cdot 2 + 8 \cdot - 2$

Passaggio 2.2

Semplifica.

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Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.2.1.1

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 6 + 8 \cdot - 2$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $8$ per $- 2$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 6 - 16$

Passaggio 2.2.2

Sottrai $16$ da $- 6$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 22$

Passaggio 3

Trova la grandezza di $a⃗$ .

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Passaggio 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{{(- 3)}^{2} + 8^{2}}$

Passaggio 3.2

Semplifica.

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Passaggio 3.2.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9 + 8^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9 + 64}$

Passaggio 3.2.3

Somma $9$ e $64$ .

$| a⃗ | = \sqrt{73}$

Passaggio 4

Trova la grandezza di $b⃗$ .

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Passaggio 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{2^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Semplifica.

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Passaggio 4.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 + {(- 2)}^{2}}$

Passaggio 4.2.2

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 4}$

Passaggio 4.2.3

Somma $4$ e $4$ .

$| b⃗ | = \sqrt{8}$

Passaggio 4.2.4

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

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Passaggio 4.2.4.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 (2)}$

Passaggio 4.2.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Passaggio 4.2.5

Estrai i termini dal radicale.

$| b⃗ | = 2 \sqrt{2}$

Passaggio 5

Sostituisci i valori nella formula.

$θ = \arccos (\frac{- 22}{\sqrt{73} (2 \sqrt{2})})$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Elimina il fattore comune di $- 22$ e $2$ .

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Passaggio 6.1.1

Scomponi $2$ da $- 22$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 11}{\sqrt{73} (2 \sqrt{2})})$

Passaggio 6.1.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 6.1.2.1

Scomponi $2$ da $\sqrt{73} (2 \sqrt{2})$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 11}{2 (\sqrt{73} (\sqrt{2}))})$

Passaggio 6.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 11}{2 (\sqrt{73} (\sqrt{2}))})$

Passaggio 6.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$θ = \arccos (\frac{- 11}{\sqrt{73} (\sqrt{2})})$

Passaggio 6.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 6.2.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$θ = \arccos (\frac{- 11}{\sqrt{73 \cdot 2}})$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $73$ per $2$ .

$θ = \arccos (\frac{- 11}{\sqrt{146}})$

Passaggio 6.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$θ = \arccos (- \frac{11}{\sqrt{146}})$

Passaggio 6.4

Moltiplica $\frac{11}{\sqrt{146}}$ per $\frac{\sqrt{146}}{\sqrt{146}}$ .

$θ = \arccos (- (\frac{11}{\sqrt{146}} \cdot \frac{\sqrt{146}}{\sqrt{146}}))$

Passaggio 6.5

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 6.5.1

Moltiplica $\frac{11}{\sqrt{146}}$ per $\frac{\sqrt{146}}{\sqrt{146}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{11 \sqrt{146}}{\sqrt{146} \sqrt{146}})$

Passaggio 6.5.2

Eleva $\sqrt{146}$ alla potenza di $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{11 \sqrt{146}}{{\sqrt{146}}^{1} \sqrt{146}})$

Passaggio 6.5.3

Eleva $\sqrt{146}$ alla potenza di $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{11 \sqrt{146}}{{\sqrt{146}}^{1} {\sqrt{146}}^{1}})$

Passaggio 6.5.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$θ = \arccos (- \frac{11 \sqrt{146}}{{\sqrt{146}}^{1 + 1}})$

Passaggio 6.5.5

Somma $1$ e $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{11 \sqrt{146}}{{\sqrt{146}}^{2}})$

Passaggio 6.5.6

Riscrivi ${\sqrt{146}}^{2}$ come $146$ .

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Passaggio 6.5.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{146}$ come $146^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{11 \sqrt{146}}{{(146^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Passaggio 6.5.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (- \frac{11 \sqrt{146}}{146^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Passaggio 6.5.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$θ = \arccos (- \frac{11 \sqrt{146}}{146^{\frac{2}{2}}})$

Passaggio 6.5.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 6.5.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$θ = \arccos (- \frac{11 \sqrt{146}}{146^{\frac{2}{2}}})$

Passaggio 6.5.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$θ = \arccos (- \frac{11 \sqrt{146}}{146^{1}})$

Passaggio 6.5.6.5

Calcola l'esponente.

$θ = \arccos (- \frac{11 \sqrt{146}}{146})$

Passaggio 6.6

Calcola $\arccos (- \frac{11 \sqrt{146}}{146})$ .

$θ = 155.55604521$