Preparazione all'algebra Esempi

$(- 3, - 3)$ , $(3, - 1)$

Passaggio 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Passaggio 2

Find the dot product.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 3 \cdot 3 - 3 \cdot - 1$

Passaggio 2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Moltiplica $- 3$ per $3$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 9 - 3 \cdot - 1$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 9 + 3$

Passaggio 2.2.2

Somma $- 9$ e $3$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 6$

Passaggio 3

Trova la grandezza di $a⃗$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9 + {(- 3)}^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9 + 9}$

Passaggio 3.2.3

Somma $9$ e $9$ .

$| a⃗ | = \sqrt{18}$

Passaggio 3.2.4

Riscrivi $18$ come $3^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Scomponi $9$ da $18$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9 (2)}$

Passaggio 3.2.4.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{3^{2} \cdot 2}$

Passaggio 3.2.5

Estrai i termini dal radicale.

$| a⃗ | = 3 \sqrt{2}$

Passaggio 4

Trova la grandezza di $b⃗$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{3^{2} + {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{9 + {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 4.2.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{9 + 1}$

Passaggio 4.2.3

Somma $9$ e $1$ .

$| b⃗ | = \sqrt{10}$

Passaggio 5

Sostituisci i valori nella formula.

$θ = \arccos (\frac{- 6}{3 \sqrt{2} \sqrt{10}})$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Elimina il fattore comune di $- 6$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Scomponi $3$ da $- 6$ .

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot - 2}{3 \sqrt{2} \sqrt{10}})$

Passaggio 6.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Scomponi $3$ da $3 \sqrt{2} \sqrt{10}$ .

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot - 2}{3 (\sqrt{2} \sqrt{10})})$

Passaggio 6.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot - 2}{3 (\sqrt{2} \sqrt{10})})$

Passaggio 6.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$θ = \arccos (\frac{- 2}{\sqrt{2} \sqrt{10}})$

Passaggio 6.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 6.2.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$θ = \arccos (\frac{- 2}{\sqrt{2 \cdot 10}})$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $2$ per $10$ .

$θ = \arccos (\frac{- 2}{\sqrt{20}})$

Passaggio 6.3

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 6.3.1

Riscrivi $20$ come $2^{2} \cdot 5$ .

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Passaggio 6.3.1.1

Scomponi $4$ da $20$ .

$θ = \arccos (\frac{- 2}{\sqrt{4 (5)}})$

Passaggio 6.3.1.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$θ = \arccos (\frac{- 2}{\sqrt{2^{2} \cdot 5}})$

Passaggio 6.3.2

Estrai i termini dal radicale.

$θ = \arccos (\frac{- 2}{2 \sqrt{5}})$

Passaggio 6.4

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

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Passaggio 6.4.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 1}{2 \sqrt{5}})$

Passaggio 6.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Scomponi $2$ da $2 \sqrt{5}$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 1}{2 (\sqrt{5})})$

Passaggio 6.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 1}{2 \sqrt{5}})$

Passaggio 6.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$θ = \arccos (\frac{- 1}{\sqrt{5}})$

Passaggio 6.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$θ = \arccos (- \frac{1}{\sqrt{5}})$

Passaggio 6.6

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{5}}$ per $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$θ = \arccos (- (\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}))$

Passaggio 6.7

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 6.7.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{5}}$ per $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}})$

Passaggio 6.7.2

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}})$

Passaggio 6.7.3

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}})$

Passaggio 6.7.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}})$

Passaggio 6.7.5

Somma $1$ e $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}})$

Passaggio 6.7.6

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

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Passaggio 6.7.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Passaggio 6.7.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Passaggio 6.7.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})$

Passaggio 6.7.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 6.7.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})$

Passaggio 6.7.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{5}}{5^{1}})$

Passaggio 6.7.6.5

Calcola l'esponente.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{5}}{5})$

Passaggio 6.8

Calcola $\arccos (- \frac{\sqrt{5}}{5})$ .

$θ = 116.56505117$