Preparazione all'algebra Esempi

$(- 3, 2)$ , $(4, - 1)$

Passaggio 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Passaggio 2

Find the dot product.

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Passaggio 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 3 \cdot 4 + 2 \cdot - 1$

Passaggio 2.2

Semplifica.

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Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.2.1.1

Moltiplica $- 3$ per $4$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 12 + 2 \cdot - 1$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 12 - 2$

Passaggio 2.2.2

Sottrai $2$ da $- 12$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 14$

Passaggio 3

Trova la grandezza di $a⃗$ .

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Passaggio 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{{(- 3)}^{2} + 2^{2}}$

Passaggio 3.2

Semplifica.

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Passaggio 3.2.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9 + 2^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9 + 4}$

Passaggio 3.2.3

Somma $9$ e $4$ .

$| a⃗ | = \sqrt{13}$

Passaggio 4

Trova la grandezza di $b⃗$ .

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Passaggio 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{4^{2} + {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Semplifica.

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Passaggio 4.2.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{16 + {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 4.2.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 1}$

Passaggio 4.2.3

Somma $16$ e $1$ .

$| b⃗ | = \sqrt{17}$

Passaggio 5

Sostituisci i valori nella formula.

$θ = \arccos (\frac{- 14}{\sqrt{13} \sqrt{17}})$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 6.1.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$θ = \arccos (\frac{- 14}{\sqrt{13 \cdot 17}})$

Passaggio 6.1.2

Moltiplica $13$ per $17$ .

$θ = \arccos (\frac{- 14}{\sqrt{221}})$

Passaggio 6.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$θ = \arccos (- \frac{14}{\sqrt{221}})$

Passaggio 6.3

Moltiplica $\frac{14}{\sqrt{221}}$ per $\frac{\sqrt{221}}{\sqrt{221}}$ .

$θ = \arccos (- (\frac{14}{\sqrt{221}} \cdot \frac{\sqrt{221}}{\sqrt{221}}))$

Passaggio 6.4

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 6.4.1

Moltiplica $\frac{14}{\sqrt{221}}$ per $\frac{\sqrt{221}}{\sqrt{221}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{14 \sqrt{221}}{\sqrt{221} \sqrt{221}})$

Passaggio 6.4.2

Eleva $\sqrt{221}$ alla potenza di $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{14 \sqrt{221}}{{\sqrt{221}}^{1} \sqrt{221}})$

Passaggio 6.4.3

Eleva $\sqrt{221}$ alla potenza di $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{14 \sqrt{221}}{{\sqrt{221}}^{1} {\sqrt{221}}^{1}})$

Passaggio 6.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$θ = \arccos (- \frac{14 \sqrt{221}}{{\sqrt{221}}^{1 + 1}})$

Passaggio 6.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{14 \sqrt{221}}{{\sqrt{221}}^{2}})$

Passaggio 6.4.6

Riscrivi ${\sqrt{221}}^{2}$ come $221$ .

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Passaggio 6.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{221}$ come $221^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{14 \sqrt{221}}{{(221^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Passaggio 6.4.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (- \frac{14 \sqrt{221}}{221^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Passaggio 6.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$θ = \arccos (- \frac{14 \sqrt{221}}{221^{\frac{2}{2}}})$

Passaggio 6.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 6.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$θ = \arccos (- \frac{14 \sqrt{221}}{221^{\frac{2}{2}}})$

Passaggio 6.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$θ = \arccos (- \frac{14 \sqrt{221}}{221^{1}})$

Passaggio 6.4.6.5

Calcola l'esponente.

$θ = \arccos (- \frac{14 \sqrt{221}}{221})$

Passaggio 6.5

Calcola $\arccos (- \frac{14 \sqrt{221}}{221})$ .

$θ = 160.34617594$