Preparazione all'algebra Esempi

$(10, 7)$ , $(- 2, 1)$

Passaggio 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Passaggio 2

Find the dot product.

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Passaggio 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 10 \cdot - 2 + 7 \cdot 1$

Passaggio 2.2

Semplifica.

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Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.2.1.1

Moltiplica $10$ per $- 2$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 20 + 7 \cdot 1$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $7$ per $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 20 + 7$

Passaggio 2.2.2

Somma $- 20$ e $7$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 13$

Passaggio 3

Trova la grandezza di $a⃗$ .

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Passaggio 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{10^{2} + 7^{2}}$

Passaggio 3.2

Semplifica.

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Passaggio 3.2.1

Eleva $10$ alla potenza di $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{100 + 7^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{100 + 49}$

Passaggio 3.2.3

Somma $100$ e $49$ .

$| a⃗ | = \sqrt{149}$

Passaggio 4

Trova la grandezza di $b⃗$ .

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Passaggio 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 1^{2}}$

Passaggio 4.2

Semplifica.

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Passaggio 4.2.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 1^{2}}$

Passaggio 4.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 1}$

Passaggio 4.2.3

Somma $4$ e $1$ .

$| b⃗ | = \sqrt{5}$

Passaggio 5

Sostituisci i valori nella formula.

$θ = \arccos (\frac{- 13}{\sqrt{149} \sqrt{5}})$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 6.1.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$θ = \arccos (\frac{- 13}{\sqrt{149 \cdot 5}})$

Passaggio 6.1.2

Moltiplica $149$ per $5$ .

$θ = \arccos (\frac{- 13}{\sqrt{745}})$

Passaggio 6.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$θ = \arccos (- \frac{13}{\sqrt{745}})$

Passaggio 6.3

Moltiplica $\frac{13}{\sqrt{745}}$ per $\frac{\sqrt{745}}{\sqrt{745}}$ .

$θ = \arccos (- (\frac{13}{\sqrt{745}} \cdot \frac{\sqrt{745}}{\sqrt{745}}))$

Passaggio 6.4

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 6.4.1

Moltiplica $\frac{13}{\sqrt{745}}$ per $\frac{\sqrt{745}}{\sqrt{745}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{13 \sqrt{745}}{\sqrt{745} \sqrt{745}})$

Passaggio 6.4.2

Eleva $\sqrt{745}$ alla potenza di $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{13 \sqrt{745}}{{\sqrt{745}}^{1} \sqrt{745}})$

Passaggio 6.4.3

Eleva $\sqrt{745}$ alla potenza di $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{13 \sqrt{745}}{{\sqrt{745}}^{1} {\sqrt{745}}^{1}})$

Passaggio 6.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$θ = \arccos (- \frac{13 \sqrt{745}}{{\sqrt{745}}^{1 + 1}})$

Passaggio 6.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{13 \sqrt{745}}{{\sqrt{745}}^{2}})$

Passaggio 6.4.6

Riscrivi ${\sqrt{745}}^{2}$ come $745$ .

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Passaggio 6.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{745}$ come $745^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{13 \sqrt{745}}{{(745^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Passaggio 6.4.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (- \frac{13 \sqrt{745}}{745^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Passaggio 6.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$θ = \arccos (- \frac{13 \sqrt{745}}{745^{\frac{2}{2}}})$

Passaggio 6.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 6.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$θ = \arccos (- \frac{13 \sqrt{745}}{745^{\frac{2}{2}}})$

Passaggio 6.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$θ = \arccos (- \frac{13 \sqrt{745}}{745^{1}})$

Passaggio 6.4.6.5

Calcola l'esponente.

$θ = \arccos (- \frac{13 \sqrt{745}}{745})$

Passaggio 6.5

Calcola $\arccos (- \frac{13 \sqrt{745}}{745})$ .

$θ = 118.44292862$