Preparazione all'algebra Esempi

$(1, 9)$ , $(- 3, 9)$

Passaggio 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Passaggio 2

Find the dot product.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 \cdot - 3 + 9 \cdot 9$

Passaggio 2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 3 + 9 \cdot 9$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $9$ per $9$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 3 + 81$

Passaggio 2.2.2

Somma $- 3$ e $81$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 78$

Passaggio 3

Trova la grandezza di $a⃗$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{1^{2} + 9^{2}}$

Passaggio 3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 9^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Eleva $9$ alla potenza di $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 81}$

Passaggio 3.2.3

Somma $1$ e $81$ .

$| a⃗ | = \sqrt{82}$

Passaggio 4

Trova la grandezza di $b⃗$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 3)}^{2} + 9^{2}}$

Passaggio 4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{9 + 9^{2}}$

Passaggio 4.2.2

Eleva $9$ alla potenza di $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{9 + 81}$

Passaggio 4.2.3

Somma $9$ e $81$ .

$| b⃗ | = \sqrt{90}$

Passaggio 4.2.4

Riscrivi $90$ come $3^{2} \cdot 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Scomponi $9$ da $90$ .

$| b⃗ | = \sqrt{9 (10)}$

Passaggio 4.2.4.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{3^{2} \cdot 10}$

Passaggio 4.2.5

Estrai i termini dal radicale.

$| b⃗ | = 3 \sqrt{10}$

Passaggio 5

Sostituisci i valori nella formula.

$θ = \arccos (\frac{78}{\sqrt{82} (3 \sqrt{10})})$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Elimina il fattore comune di $78$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Scomponi $3$ da $78$ .

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 26}{\sqrt{82} (3 \sqrt{10})})$

Passaggio 6.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Scomponi $3$ da $\sqrt{82} (3 \sqrt{10})$ .

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 26}{3 (\sqrt{82} (\sqrt{10}))})$

Passaggio 6.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 26}{3 (\sqrt{82} (\sqrt{10}))})$

Passaggio 6.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$θ = \arccos (\frac{26}{\sqrt{82} (\sqrt{10})})$

Passaggio 6.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$θ = \arccos (\frac{26}{\sqrt{82 \cdot 10}})$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $82$ per $10$ .

$θ = \arccos (\frac{26}{\sqrt{820}})$

Passaggio 6.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Riscrivi $820$ come $2^{2} \cdot 205$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1

Scomponi $4$ da $820$ .

$θ = \arccos (\frac{26}{\sqrt{4 (205)}})$

Passaggio 6.3.1.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$θ = \arccos (\frac{26}{\sqrt{2^{2} \cdot 205}})$

Passaggio 6.3.2

Estrai i termini dal radicale.

$θ = \arccos (\frac{26}{2 \sqrt{205}})$

Passaggio 6.4

Elimina il fattore comune di $26$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Scomponi $2$ da $26$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 13}{2 \sqrt{205}})$

Passaggio 6.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Scomponi $2$ da $2 \sqrt{205}$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 13}{2 (\sqrt{205})})$

Passaggio 6.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 13}{2 \sqrt{205}})$

Passaggio 6.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$θ = \arccos (\frac{13}{\sqrt{205}})$

Passaggio 6.5

Moltiplica $\frac{13}{\sqrt{205}}$ per $\frac{\sqrt{205}}{\sqrt{205}}$ .

$θ = \arccos (\frac{13}{\sqrt{205}} \cdot \frac{\sqrt{205}}{\sqrt{205}})$

Passaggio 6.6

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 6.6.1

Moltiplica $\frac{13}{\sqrt{205}}$ per $\frac{\sqrt{205}}{\sqrt{205}}$ .

$θ = \arccos (\frac{13 \sqrt{205}}{\sqrt{205} \sqrt{205}})$

Passaggio 6.6.2

Eleva $\sqrt{205}$ alla potenza di $1$ .

$θ = \arccos (\frac{13 \sqrt{205}}{{\sqrt{205}}^{1} \sqrt{205}})$

Passaggio 6.6.3

Eleva $\sqrt{205}$ alla potenza di $1$ .

$θ = \arccos (\frac{13 \sqrt{205}}{{\sqrt{205}}^{1} {\sqrt{205}}^{1}})$

Passaggio 6.6.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$θ = \arccos (\frac{13 \sqrt{205}}{{\sqrt{205}}^{1 + 1}})$

Passaggio 6.6.5

Somma $1$ e $1$ .

$θ = \arccos (\frac{13 \sqrt{205}}{{\sqrt{205}}^{2}})$

Passaggio 6.6.6

Riscrivi ${\sqrt{205}}^{2}$ come $205$ .

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Passaggio 6.6.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{205}$ come $205^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{13 \sqrt{205}}{{(205^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Passaggio 6.6.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{13 \sqrt{205}}{205^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Passaggio 6.6.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$θ = \arccos (\frac{13 \sqrt{205}}{205^{\frac{2}{2}}})$

Passaggio 6.6.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 6.6.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$θ = \arccos (\frac{13 \sqrt{205}}{205^{\frac{2}{2}}})$

Passaggio 6.6.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$θ = \arccos (\frac{13 \sqrt{205}}{205^{1}})$

Passaggio 6.6.6.5

Calcola l'esponente.

$θ = \arccos (\frac{13 \sqrt{205}}{205})$

Passaggio 6.7

Calcola $\arccos (\frac{13 \sqrt{205}}{205})$ .

$θ = 24.77514056$