Preparazione all'algebra Esempi

$(\frac{1}{5}, 3)$ , $(\frac{1}{5}, 0)$

Passaggio 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Passaggio 2

Find the dot product.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} + 3 \cdot 0$

Passaggio 2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Moltiplica $\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Moltiplica $\frac{1}{5}$ per $\frac{1}{5}$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{1}{5 \cdot 5} + 3 \cdot 0$

Passaggio 2.2.1.1.2

Moltiplica $5$ per $5$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{1}{25} + 3 \cdot 0$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{1}{25} + 0$

Passaggio 2.2.2

Somma $\frac{1}{25}$ e $0$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{1}{25}$

Passaggio 3

Trova la grandezza di $a⃗$ .

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Passaggio 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{{(\frac{1}{5})}^{2} + 3^{2}}$

Passaggio 3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{5}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{1^{2}}{5^{2}} + 3^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{1}{5^{2}} + 3^{2}}$

Passaggio 3.2.3

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{1}{25} + 3^{2}}$

Passaggio 3.2.4

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{1}{25} + 9}$

Passaggio 3.2.5

Per scrivere $9$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{25}{25}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{1}{25} + 9 \cdot \frac{25}{25}}$

Passaggio 3.2.6

$9$ e $\frac{25}{25}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{1}{25} + \frac{9 \cdot 25}{25}}$

Passaggio 3.2.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{1 + 9 \cdot 25}{25}}$

Passaggio 3.2.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.8.1

Moltiplica $9$ per $25$ .

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{1 + 225}{25}}$

Passaggio 3.2.8.2

Somma $1$ e $225$ .

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{226}{25}}$

Passaggio 3.2.9

Riscrivi $\sqrt{\frac{226}{25}}$ come $\frac{\sqrt{226}}{\sqrt{25}}$ .

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{226}}{\sqrt{25}}$

Passaggio 3.2.10

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.10.1

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{226}}{\sqrt{5^{2}}}$

Passaggio 3.2.10.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{226}}{5}$

Passaggio 4

Trova la grandezza di $b⃗$ .

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Passaggio 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{(\frac{1}{5})}^{2} + 0^{2}}$

Passaggio 4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{5}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{\frac{1^{2}}{5^{2}} + 0^{2}}$

Passaggio 4.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$| b⃗ | = \sqrt{\frac{1}{5^{2}} + 0^{2}}$

Passaggio 4.2.3

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{\frac{1}{25} + 0^{2}}$

Passaggio 4.2.4

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$| b⃗ | = \sqrt{\frac{1}{25} + 0}$

Passaggio 4.2.5

Somma $\frac{1}{25}$ e $0$ .

$| b⃗ | = \sqrt{\frac{1}{25}}$

Passaggio 4.2.6

Riscrivi $\sqrt{\frac{1}{25}}$ come $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{25}}$ .

$| b⃗ | = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{25}}$

Passaggio 4.2.7

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$| b⃗ | = \frac{1}{\sqrt{25}}$

Passaggio 4.2.8

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.8.1

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$| b⃗ | = \frac{1}{\sqrt{5^{2}}}$

Passaggio 4.2.8.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$| b⃗ | = \frac{1}{5}$

Passaggio 5

Sostituisci i valori nella formula.

$θ = \arccos (\frac{\frac{1}{25}}{\frac{\sqrt{226}}{5} \cdot \frac{1}{5}})$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$θ = \arccos (\frac{1}{25} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{226}}{5} \cdot \frac{1}{5}})$

Passaggio 6.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{226}}{5}$ per $\frac{1}{5}$ .

$θ = \arccos (\frac{1}{25} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{226}}{5 \cdot 5}})$

Passaggio 6.3

Moltiplica $5$ per $5$ .

$θ = \arccos (\frac{1}{25} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{226}}{25}})$

Passaggio 6.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$θ = \arccos (\frac{1}{25} (1 \frac{25}{\sqrt{226}}))$

Passaggio 6.5

Moltiplica $\frac{25}{\sqrt{226}}$ per $1$ .

$θ = \arccos (\frac{1}{25} \cdot \frac{25}{\sqrt{226}})$

Passaggio 6.6

Elimina il fattore comune di $25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1

Elimina il fattore comune.

$θ = \arccos (\frac{1}{25} \cdot \frac{25}{\sqrt{226}})$

Passaggio 6.6.2

Riscrivi l'espressione.

$θ = \arccos (\frac{1}{\sqrt{226}})$

Passaggio 6.7

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{226}}$ per $\frac{\sqrt{226}}{\sqrt{226}}$ .

$θ = \arccos (\frac{1}{\sqrt{226}} \cdot \frac{\sqrt{226}}{\sqrt{226}})$

Passaggio 6.8

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 6.8.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{226}}$ per $\frac{\sqrt{226}}{\sqrt{226}}$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{\sqrt{226} \sqrt{226}})$

Passaggio 6.8.2

Eleva $\sqrt{226}$ alla potenza di $1$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{{\sqrt{226}}^{1} \sqrt{226}})$

Passaggio 6.8.3

Eleva $\sqrt{226}$ alla potenza di $1$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{{\sqrt{226}}^{1} {\sqrt{226}}^{1}})$

Passaggio 6.8.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{{\sqrt{226}}^{1 + 1}})$

Passaggio 6.8.5

Somma $1$ e $1$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{{\sqrt{226}}^{2}})$

Passaggio 6.8.6

Riscrivi ${\sqrt{226}}^{2}$ come $226$ .

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Passaggio 6.8.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{226}$ come $226^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{{(226^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Passaggio 6.8.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{226^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Passaggio 6.8.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{226^{\frac{2}{2}}})$

Passaggio 6.8.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 6.8.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{226^{\frac{2}{2}}})$

Passaggio 6.8.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{226^{1}})$

Passaggio 6.8.6.5

Calcola l'esponente.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{226})$

Passaggio 6.9

Calcola $\arccos (\frac{\sqrt{226}}{226})$ .

$θ = 86.18592516$