Preparazione all'algebra Esempi

$(- 3, - 8)$

Passaggio 1

Per trovare una funzione esponenziale, $f (x) = a^{x}$ , contenente il punto, imposta $f (x)$ nella funzione sul valore $y$ $- 8$ del punto e imposta $x$ sul valore $x$ $- 3$ del punto.

$- 8 = a^{- 3}$

Passaggio 2

Risolvi l'equazione per $a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione come $a^{- 3} = - 8$ .

$a^{- 3} = - 8$

Passaggio 2.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{a^{3}} = - 8$

Passaggio 2.3

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$a^{3}, 1$

Passaggio 2.3.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$a^{3}$

Passaggio 2.4

Moltiplica per $a^{3}$ ciascun termine in $\frac{1}{a^{3}} = - 8$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{1}{a^{3}} = - 8$ per $a^{3}$ .

$\frac{1}{a^{3}} a^{3} = - 8 a^{3}$

Passaggio 2.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Elimina il fattore comune di $a^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{a^{3}} a^{3} = - 8 a^{3}$

Passaggio 2.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = - 8 a^{3}$

Passaggio 2.5

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Riscrivi l'equazione come $- 8 a^{3} = 1$ .

$- 8 a^{3} = 1$

Passaggio 2.5.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 8 a^{3} - 1 = 0$

Passaggio 2.5.3

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1

Scomponi $- 1$ da $- 8 a^{3} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.1

Scomponi $- 1$ da $- 8 a^{3}$ .

$- (8 a^{3}) - 1 = 0$

Passaggio 2.5.3.1.2

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$- (8 a^{3}) - 1 \cdot 1 = 0$

Passaggio 2.5.3.1.3

Scomponi $- 1$ da $- (8 a^{3}) - 1 (1)$ .

$- (8 a^{3} + 1) = 0$

Passaggio 2.5.3.2

Riscrivi $8 a^{3}$ come ${(2 a)}^{3}$ .

$- ({(2 a)}^{3} + 1) = 0$

Passaggio 2.5.3.3

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

$- ({(2 a)}^{3} + 1^{3}) = 0$

Passaggio 2.5.3.4

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della somma di cubi, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ dove $a = 2 a$ e $b = 1$ .

$- ((2 a + 1) ({(2 a)}^{2} - 2 a \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

Passaggio 2.5.3.5

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.5.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.5.1.1

Applica la regola del prodotto a $2 a$ .

$- ((2 a + 1) (2^{2} a^{2} - 2 a \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

Passaggio 2.5.3.5.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$- ((2 a + 1) (4 a^{2} - 2 a \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

Passaggio 2.5.3.5.1.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- ((2 a + 1) (4 a^{2} - 2 a \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

Passaggio 2.5.3.5.1.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- ((2 a + 1) (4 a^{2} - 2 a + 1^{2})) = 0$

Passaggio 2.5.3.5.1.5

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- ((2 a + 1) (4 a^{2} - 2 a + 1)) = 0$

Passaggio 2.5.3.5.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- (2 a + 1) (4 a^{2} - 2 a + 1) = 0$

Passaggio 2.5.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 a + 1 = 0$

$4 a^{2} - 2 a + 1 = 0$

Passaggio 2.5.5

Imposta $2 a + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.5.1

Imposta $2 a + 1$ uguale a $0$ .

$2 a + 1 = 0$

Passaggio 2.5.5.2

Risolvi $2 a + 1 = 0$ per $a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.5.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 a = - 1$

Passaggio 2.5.5.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 a = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.5.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 a = - 1$ .

$\frac{2 a}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 2.5.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 a}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 2.5.5.2.2.2.1.2

Dividi $a$ per $1$ .

$a = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 2.5.5.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.5.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$a = - \frac{1}{2}$

Passaggio 2.5.6

Imposta $4 a^{2} - 2 a + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.6.1

Imposta $4 a^{2} - 2 a + 1$ uguale a $0$ .

$4 a^{2} - 2 a + 1 = 0$

Passaggio 2.5.6.2

Risolvi $4 a^{2} - 2 a + 1 = 0$ per $a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.6.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2.5.6.2.2

Sostituisci i valori $a = 4$ , $b = - 2$ e $c = 1$ nella formula quadratica e risolvi per $a$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 1)}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 2.5.6.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.6.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.6.2.3.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$a = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 2.5.6.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.6.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$a = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 2.5.6.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 16$ per $1$ .

$a = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 2.5.6.2.3.1.3

Sottrai $16$ da $4$ .

$a = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 2.5.6.2.3.1.4

Riscrivi $- 12$ come $- 1 (12)$ .

$a = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 2.5.6.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (12)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$a = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 2.5.6.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$a = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 2.5.6.2.3.1.7

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.6.2.3.1.7.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$a = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 2.5.6.2.3.1.7.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$a = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 2.5.6.2.3.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$a = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Passaggio 2.5.6.2.3.1.9

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$a = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 2.5.6.2.3.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$a = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

Passaggio 2.5.6.2.3.3

Semplifica $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ .

$a = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

Passaggio 2.5.6.2.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.6.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.6.2.4.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$a = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 2.5.6.2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.6.2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$a = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 2.5.6.2.4.1.2.2

Moltiplica $- 16$ per $1$ .

$a = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 2.5.6.2.4.1.3

Sottrai $16$ da $4$ .

$a = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 2.5.6.2.4.1.4

Riscrivi $- 12$ come $- 1 (12)$ .

$a = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 2.5.6.2.4.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (12)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$a = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 2.5.6.2.4.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$a = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 2.5.6.2.4.1.7

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.6.2.4.1.7.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$a = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 2.5.6.2.4.1.7.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$a = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 2.5.6.2.4.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$a = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Passaggio 2.5.6.2.4.1.9

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$a = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 2.5.6.2.4.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$a = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

Passaggio 2.5.6.2.4.3

Semplifica $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ .

$a = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

Passaggio 2.5.6.2.4.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$a = \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$

Passaggio 2.5.6.2.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.6.2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.6.2.5.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$a = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 2.5.6.2.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.6.2.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$a = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 2.5.6.2.5.1.2.2

Moltiplica $- 16$ per $1$ .

$a = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 2.5.6.2.5.1.3

Sottrai $16$ da $4$ .

$a = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 2.5.6.2.5.1.4

Riscrivi $- 12$ come $- 1 (12)$ .

$a = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 2.5.6.2.5.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (12)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$a = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 2.5.6.2.5.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$a = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 2.5.6.2.5.1.7

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.6.2.5.1.7.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$a = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 2.5.6.2.5.1.7.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$a = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 2.5.6.2.5.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$a = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Passaggio 2.5.6.2.5.1.9

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$a = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 2.5.6.2.5.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$a = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

Passaggio 2.5.6.2.5.3

Semplifica $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ .

$a = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

Passaggio 2.5.6.2.5.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$a = \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}$

Passaggio 2.5.6.2.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$a = \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}$

Passaggio 2.5.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- (2 a + 1) (4 a^{2} - 2 a + 1) = 0$ vera.

$a = - \frac{1}{2}, \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}$

Passaggio 2.6

Rimuovi tutti i valori che contengono componenti immaginari.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Non ci sono componenti immaginari. Aggiungi $- \frac{1}{2}$ alla risposta finale.

$- \frac{1}{2}$ è un numero reale

Passaggio 2.6.2

La lettera $i$ rappresenta un componente immaginario e non è un numero reale. Non aggiungere $\frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$ alla risposta finale.

$\frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$ non è un numero reale

Passaggio 2.6.3

La lettera $i$ rappresenta un componente immaginario e non è un numero reale. Non aggiungere $\frac{1 - i \sqrt{3}}{4}$ alla risposta finale.

$\frac{1 - i \sqrt{3}}{4}$ non è un numero reale

Passaggio 2.6.4

La risposta finale è l'elenco di valori che non contengono componenti immaginari.

$a = - \frac{1}{2}$

Passaggio 3

Sostituisci nuovamente ogni valore per $a$ nella funzione $f (x) = a^{x}$ per trovare ogni funzione esponenziale possibile.

$f (x) = {(- \frac{1}{2})}^{x}$