Preparazione all'algebra Esempi

$\frac{2 m + 17}{2 m^{2} + 11 m + 14} + \frac{m - 2}{m + 2} = \frac{m - 3}{2 m + 7}$

Passaggio 1

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot 14 = 28$ e la cui somma è $b = 11$ .

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Passaggio 1.1.1

Scomponi $11$ da $11 m$ .

$\frac{2 m + 17}{2 m^{2} + 11 (m) + 14} + \frac{m - 2}{m + 2} = \frac{m - 3}{2 m + 7}$

Passaggio 1.1.2

Riscrivi $11$ come $4$ più $7$ .

$\frac{2 m + 17}{2 m^{2} + (4 + 7) m + 14} + \frac{m - 2}{m + 2} = \frac{m - 3}{2 m + 7}$

Passaggio 1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 m + 17}{2 m^{2} + 4 m + 7 m + 14} + \frac{m - 2}{m + 2} = \frac{m - 3}{2 m + 7}$

Passaggio 1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{2 m + 17}{(2 m^{2} + 4 m) + 7 m + 14} + \frac{m - 2}{m + 2} = \frac{m - 3}{2 m + 7}$

Passaggio 1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{2 m + 17}{2 m (m + 2) + 7 (m + 2)} + \frac{m - 2}{m + 2} = \frac{m - 3}{2 m + 7}$

Passaggio 1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $m + 2$ .

$\frac{2 m + 17}{(m + 2) (2 m + 7)} + \frac{m - 2}{m + 2} = \frac{m - 3}{2 m + 7}$

Passaggio 2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

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Passaggio 2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$(m + 2) (2 m + 7), m + 2, 2 m + 7$

Passaggio 2.2

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 2.3

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 2.4

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 2.5

Il fattore di $m + 2$ è $m + 2$ stesso.

$(m + 2) = m + 2$

$(m + 2)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.6

Il fattore di $2 m + 7$ è $2 m + 7$ stesso.

$(2 m + 7) = 2 m + 7$

$(2 m + 7)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.7

Il fattore di $m + 2$ è $m + 2$ stesso.

$(m + 2) = m + 2$

$(m + 2)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.8

Il fattore di $2 m + 7$ è $2 m + 7$ stesso.

$(2 m + 7) = 2 m + 7$

$(2 m + 7)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.9

Il minimo comune multiplo di $m + 2, 2 m + 7, m + 2, 2 m + 7$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$(m + 2) (2 m + 7)$

Passaggio 3

Moltiplica per $(m + 2) (2 m + 7)$ ciascun termine in $\frac{2 m + 17}{(m + 2) (2 m + 7)} + \frac{m - 2}{m + 2} = \frac{m - 3}{2 m + 7}$ per eliminare le frazioni.

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Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{2 m + 17}{(m + 2) (2 m + 7)} + \frac{m - 2}{m + 2} = \frac{m - 3}{2 m + 7}$ per $(m + 2) (2 m + 7)$ .

$\frac{2 m + 17}{(m + 2) (2 m + 7)} ((m + 2) (2 m + 7)) + \frac{m - 2}{m + 2} ((m + 2) (2 m + 7)) = \frac{m - 3}{2 m + 7} ((m + 2) (2 m + 7))$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.1

Elimina il fattore comune di $(m + 2) (2 m + 7)$ .

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Passaggio 3.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 m + 17}{(m + 2) (2 m + 7)} ((m + 2) (2 m + 7)) + \frac{m - 2}{m + 2} ((m + 2) (2 m + 7)) = \frac{m - 3}{2 m + 7} ((m + 2) (2 m + 7))$

Passaggio 3.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$2 m + 17 + \frac{m - 2}{m + 2} ((m + 2) (2 m + 7)) = \frac{m - 3}{2 m + 7} ((m + 2) (2 m + 7))$

Passaggio 3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $m + 2$ .

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Passaggio 3.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 m + 17 + \frac{m - 2}{m + 2} ((m + 2) (2 m + 7)) = \frac{m - 3}{2 m + 7} ((m + 2) (2 m + 7))$

Passaggio 3.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$2 m + 17 + (m - 2) (2 m + 7) = \frac{m - 3}{2 m + 7} ((m + 2) (2 m + 7))$

Passaggio 3.2.1.3

Espandi $(m - 2) (2 m + 7)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.2.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 m + 17 + m (2 m + 7) - 2 (2 m + 7) = \frac{m - 3}{2 m + 7} ((m + 2) (2 m + 7))$

Passaggio 3.2.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 m + 17 + m (2 m) + m \cdot 7 - 2 (2 m + 7) = \frac{m - 3}{2 m + 7} ((m + 2) (2 m + 7))$

Passaggio 3.2.1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 m + 17 + m (2 m) + m \cdot 7 - 2 (2 m) - 2 \cdot 7 = \frac{m - 3}{2 m + 7} ((m + 2) (2 m + 7))$

Passaggio 3.2.1.4

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.2.1.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.4.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 m + 17 + 2 m \cdot m + m \cdot 7 - 2 (2 m) - 2 \cdot 7 = \frac{m - 3}{2 m + 7} ((m + 2) (2 m + 7))$

Passaggio 3.2.1.4.1.2

Moltiplica $m$ per $m$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.2.1.4.1.2.1

Sposta $m$ .

$2 m + 17 + 2 (m \cdot m) + m \cdot 7 - 2 (2 m) - 2 \cdot 7 = \frac{m - 3}{2 m + 7} ((m + 2) (2 m + 7))$

Passaggio 3.2.1.4.1.2.2

Moltiplica $m$ per $m$ .

$2 m + 17 + 2 m^{2} + m \cdot 7 - 2 (2 m) - 2 \cdot 7 = \frac{m - 3}{2 m + 7} ((m + 2) (2 m + 7))$

Passaggio 3.2.1.4.1.3

Sposta $7$ alla sinistra di $m$ .

$2 m + 17 + 2 m^{2} + 7 \cdot m - 2 (2 m) - 2 \cdot 7 = \frac{m - 3}{2 m + 7} ((m + 2) (2 m + 7))$

Passaggio 3.2.1.4.1.4

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$2 m + 17 + 2 m^{2} + 7 m - 4 m - 2 \cdot 7 = \frac{m - 3}{2 m + 7} ((m + 2) (2 m + 7))$

Passaggio 3.2.1.4.1.5

Moltiplica $- 2$ per $7$ .

$2 m + 17 + 2 m^{2} + 7 m - 4 m - 14 = \frac{m - 3}{2 m + 7} ((m + 2) (2 m + 7))$

Passaggio 3.2.1.4.2

Sottrai $4 m$ da $7 m$ .

$2 m + 17 + 2 m^{2} + 3 m - 14 = \frac{m - 3}{2 m + 7} ((m + 2) (2 m + 7))$

Passaggio 3.2.2

Semplifica aggiungendo i termini.

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Passaggio 3.2.2.1

Somma $2 m$ e $3 m$ .

$5 m + 17 + 2 m^{2} - 14 = \frac{m - 3}{2 m + 7} ((m + 2) (2 m + 7))$

Passaggio 3.2.2.2

Sottrai $14$ da $17$ .

$5 m + 2 m^{2} + 3 = \frac{m - 3}{2 m + 7} ((m + 2) (2 m + 7))$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.3.1

Elimina il fattore comune di $2 m + 7$ .

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Passaggio 3.3.1.1

Scomponi $2 m + 7$ da $(m + 2) (2 m + 7)$ .

$5 m + 2 m^{2} + 3 = \frac{m - 3}{2 m + 7} ((2 m + 7) (m + 2))$

Passaggio 3.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$5 m + 2 m^{2} + 3 = \frac{m - 3}{2 m + 7} ((2 m + 7) (m + 2))$

Passaggio 3.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$5 m + 2 m^{2} + 3 = (m - 3) (m + 2)$

Passaggio 3.3.2

Espandi $(m - 3) (m + 2)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$5 m + 2 m^{2} + 3 = m (m + 2) - 3 (m + 2)$

Passaggio 3.3.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$5 m + 2 m^{2} + 3 = m \cdot m + m \cdot 2 - 3 (m + 2)$

Passaggio 3.3.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$5 m + 2 m^{2} + 3 = m \cdot m + m \cdot 2 - 3 m - 3 \cdot 2$

Passaggio 3.3.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.3.3.1.1

Moltiplica $m$ per $m$ .

$5 m + 2 m^{2} + 3 = m^{2} + m \cdot 2 - 3 m - 3 \cdot 2$

Passaggio 3.3.3.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $m$ .

$5 m + 2 m^{2} + 3 = m^{2} + 2 \cdot m - 3 m - 3 \cdot 2$

Passaggio 3.3.3.1.3

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$5 m + 2 m^{2} + 3 = m^{2} + 2 m - 3 m - 6$

Passaggio 3.3.3.2

Sottrai $3 m$ da $2 m$ .

$5 m + 2 m^{2} + 3 = m^{2} - m - 6$

Passaggio 4

Risolvi l'equazione.

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Passaggio 4.1

Sposta tutti i termini contenenti $m$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 4.1.1

Sottrai $m^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$5 m + 2 m^{2} + 3 - m^{2} = - m - 6$

Passaggio 4.1.2

Somma $m$ a entrambi i lati dell'equazione.

$5 m + 2 m^{2} + 3 - m^{2} + m = - 6$

Passaggio 4.1.3

Somma $5 m$ e $m$ .

$2 m^{2} + 3 - m^{2} + 6 m = - 6$

Passaggio 4.1.4

Sottrai $m^{2}$ da $2 m^{2}$ .

$m^{2} + 3 + 6 m = - 6$

Passaggio 4.2

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$m^{2} + 3 + 6 m + 6 = 0$

Passaggio 4.3

Somma $3$ e $6$ .

$m^{2} + 6 m + 9 = 0$

Passaggio 4.4

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 4.4.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$m^{2} + 6 m + 3^{2} = 0$

Passaggio 4.4.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$6 m = 2 \cdot m \cdot 3$

Passaggio 4.4.3

Riscrivi il polinomio.

$m^{2} + 2 \cdot m \cdot 3 + 3^{2} = 0$

Passaggio 4.4.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = m$ e $b = 3$ .

${(m + 3)}^{2} = 0$

Passaggio 4.5

Poni $m + 3$ uguale a $0$ .

$m + 3 = 0$

Passaggio 4.6

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$m = - 3$