Preparazione all'algebra Esempi

$9 + \frac{2}{y - 1} = - \frac{4}{y - 2}$

Passaggio 1

Sottrai $9$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{2}{y - 1} = - \frac{4}{y - 2} - 9$

Passaggio 2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$y - 1, y - 2, 1$

Passaggio 2.2

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 2.3

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 2.4

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 2.5

Il fattore di $y - 1$ è $y - 1$ stesso.

$(y - 1) = y - 1$

$(y - 1)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.6

Il fattore di $y - 2$ è $y - 2$ stesso.

$(y - 2) = y - 2$

$(y - 2)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.7

Il minimo comune multiplo di $y - 1, y - 2$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$(y - 1) (y - 2)$

Passaggio 3

Moltiplica per $(y - 1) (y - 2)$ ciascun termine in $\frac{2}{y - 1} = - \frac{4}{y - 2} - 9$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{2}{y - 1} = - \frac{4}{y - 2} - 9$ per $(y - 1) (y - 2)$ .

$\frac{2}{y - 1} ((y - 1) (y - 2)) = - \frac{4}{y - 2} ((y - 1) (y - 2)) - 9 ((y - 1) (y - 2))$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Elimina il fattore comune di $y - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{y - 1} ((y - 1) (y - 2)) = - \frac{4}{y - 2} ((y - 1) (y - 2)) - 9 ((y - 1) (y - 2))$

Passaggio 3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$2 (y - 2) = - \frac{4}{y - 2} ((y - 1) (y - 2)) - 9 ((y - 1) (y - 2))$

Passaggio 3.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 y + 2 \cdot - 2 = - \frac{4}{y - 2} ((y - 1) (y - 2)) - 9 ((y - 1) (y - 2))$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$2 y - 4 = - \frac{4}{y - 2} ((y - 1) (y - 2)) - 9 ((y - 1) (y - 2))$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Elimina il fattore comune di $y - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{4}{y - 2}$ nel numeratore.

$2 y - 4 = \frac{- 4}{y - 2} ((y - 1) (y - 2)) - 9 ((y - 1) (y - 2))$

Passaggio 3.3.1.1.2

Scomponi $y - 2$ da $(y - 1) (y - 2)$ .

$2 y - 4 = \frac{- 4}{y - 2} ((y - 2) (y - 1)) - 9 ((y - 1) (y - 2))$

Passaggio 3.3.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$2 y - 4 = \frac{- 4}{y - 2} ((y - 2) (y - 1)) - 9 ((y - 1) (y - 2))$

Passaggio 3.3.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$2 y - 4 = - 4 (y - 1) - 9 ((y - 1) (y - 2))$

Passaggio 3.3.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 y - 4 = - 4 y - 4 \cdot - 1 - 9 ((y - 1) (y - 2))$

Passaggio 3.3.1.3

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$2 y - 4 = - 4 y + 4 - 9 ((y - 1) (y - 2))$

Passaggio 3.3.1.4

Espandi $(y - 1) (y - 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 y - 4 = - 4 y + 4 - 9 (y (y - 2) - 1 (y - 2))$

Passaggio 3.3.1.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 y - 4 = - 4 y + 4 - 9 (y \cdot y + y \cdot - 2 - 1 (y - 2))$

Passaggio 3.3.1.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 y - 4 = - 4 y + 4 - 9 (y \cdot y + y \cdot - 2 - 1 y - 1 \cdot - 2)$

Passaggio 3.3.1.5

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.5.1.1

Moltiplica $y$ per $y$ .

$2 y - 4 = - 4 y + 4 - 9 (y^{2} + y \cdot - 2 - 1 y - 1 \cdot - 2)$

Passaggio 3.3.1.5.1.2

Sposta $- 2$ alla sinistra di $y$ .

$2 y - 4 = - 4 y + 4 - 9 (y^{2} - 2 \cdot y - 1 y - 1 \cdot - 2)$

Passaggio 3.3.1.5.1.3

Riscrivi $- 1 y$ come $- y$ .

$2 y - 4 = - 4 y + 4 - 9 (y^{2} - 2 y - y - 1 \cdot - 2)$

Passaggio 3.3.1.5.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$2 y - 4 = - 4 y + 4 - 9 (y^{2} - 2 y - y + 2)$

Passaggio 3.3.1.5.2

Sottrai $y$ da $- 2 y$ .

$2 y - 4 = - 4 y + 4 - 9 (y^{2} - 3 y + 2)$

Passaggio 3.3.1.6

Applica la proprietà distributiva.

$2 y - 4 = - 4 y + 4 - 9 y^{2} - 9 (- 3 y) - 9 \cdot 2$

Passaggio 3.3.1.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.7.1

Moltiplica $- 3$ per $- 9$ .

$2 y - 4 = - 4 y + 4 - 9 y^{2} + 27 y - 9 \cdot 2$

Passaggio 3.3.1.7.2

Moltiplica $- 9$ per $2$ .

$2 y - 4 = - 4 y + 4 - 9 y^{2} + 27 y - 18$

Passaggio 3.3.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Somma $- 4 y$ e $27 y$ .

$2 y - 4 = 23 y + 4 - 9 y^{2} - 18$

Passaggio 3.3.2.2

Sottrai $18$ da $4$ .

$2 y - 4 = 23 y - 9 y^{2} - 14$

Passaggio 4

Risolvi l'equazione.

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Passaggio 4.1

Poiché $y$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$23 y - 9 y^{2} - 14 = 2 y - 4$

Passaggio 4.2

Sposta tutti i termini contenenti $y$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sottrai $2 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$23 y - 9 y^{2} - 14 - 2 y = - 4$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $2 y$ da $23 y$ .

$21 y - 9 y^{2} - 14 = - 4$

Passaggio 4.3

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$21 y - 9 y^{2} - 14 + 4 = 0$

Passaggio 4.4

Somma $- 14$ e $4$ .

$21 y - 9 y^{2} - 10 = 0$

Passaggio 4.5

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Scomponi $- 1$ da $21 y - 9 y^{2} - 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1.1

Riordina $21 y$ e $- 9 y^{2}$ .

$- 9 y^{2} + 21 y - 10 = 0$

Passaggio 4.5.1.2

Scomponi $- 1$ da $- 9 y^{2}$ .

$- (9 y^{2}) + 21 y - 10 = 0$

Passaggio 4.5.1.3

Scomponi $- 1$ da $21 y$ .

$- (9 y^{2}) - (- 21 y) - 10 = 0$

Passaggio 4.5.1.4

Riscrivi $- 10$ come $- 1 (10)$ .

$- (9 y^{2}) - (- 21 y) - 1 \cdot 10 = 0$

Passaggio 4.5.1.5

Scomponi $- 1$ da $- (9 y^{2}) - (- 21 y)$ .

$- (9 y^{2} - 21 y) - 1 \cdot 10 = 0$

Passaggio 4.5.1.6

Scomponi $- 1$ da $- (9 y^{2} - 21 y) - 1 (10)$ .

$- (9 y^{2} - 21 y + 10) = 0$

Passaggio 4.5.2

Scomponi.

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Passaggio 4.5.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 4.5.2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 9 \cdot 10 = 90$ e la cui somma è $b = - 21$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1.1.1

Scomponi $- 21$ da $- 21 y$ .

$- (9 y^{2} - 21 y + 10) = 0$

Passaggio 4.5.2.1.1.2

Riscrivi $- 21$ come $- 6$ più $- 15$ .

$- (9 y^{2} + (- 6 - 15) y + 10) = 0$

Passaggio 4.5.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$- (9 y^{2} - 6 y - 15 y + 10) = 0$

Passaggio 4.5.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$- ((9 y^{2} - 6 y) - 15 y + 10) = 0$

Passaggio 4.5.2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$- (3 y (3 y - 2) - 5 (3 y - 2)) = 0$

Passaggio 4.5.2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $3 y - 2$ .

$- ((3 y - 2) (3 y - 5)) = 0$

Passaggio 4.5.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- (3 y - 2) (3 y - 5) = 0$

Passaggio 4.6

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$3 y - 2 = 0$

$3 y - 5 = 0$

Passaggio 4.7

Imposta $3 y - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Imposta $3 y - 2$ uguale a $0$ .

$3 y - 2 = 0$

Passaggio 4.7.2

Risolvi $3 y - 2 = 0$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 y = 2$

Passaggio 4.7.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 y = 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 y = 2$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{2}{3}$

Passaggio 4.7.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 y}{3} = \frac{2}{3}$

Passaggio 4.7.2.2.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{2}{3}$

Passaggio 4.8

Imposta $3 y - 5$ uguale a $0$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1

Imposta $3 y - 5$ uguale a $0$ .

$3 y - 5 = 0$

Passaggio 4.8.2

Risolvi $3 y - 5 = 0$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.2.1

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 y = 5$

Passaggio 4.8.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 y = 5$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 y = 5$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{5}{3}$

Passaggio 4.8.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 y}{3} = \frac{5}{3}$

Passaggio 4.8.2.2.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{5}{3}$

Passaggio 4.9

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- (3 y - 2) (3 y - 5) = 0$ vera.

$y = \frac{2}{3}, \frac{5}{3}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$y = \frac{2}{3}, \frac{5}{3}$

Forma decimale:

$y = 0.\overline{6}, 1.\overline{6}$

Forma numero misto:

$y = \frac{2}{3}, 1 \frac{2}{3}$