Preparazione all'algebra Esempi

$\frac{y - 5}{y - 2} = \frac{1}{y^{2} + 9 y - 22}$

Passaggio 1

Scomponi $y^{2} + 9 y - 22$ usando il metodo AC.

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Passaggio 1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 22$ e la cui somma è $9$ .

$- 2, 11$

Passaggio 1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$\frac{y - 5}{y - 2} = \frac{1}{(y - 2) (y + 11)}$

Passaggio 2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

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Passaggio 2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$y - 2, (y - 2) (y + 11)$

Passaggio 2.2

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 2.3

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 2.4

Il minimo comune multiplo di $1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 2.5

Il fattore di $y - 2$ è $y - 2$ stesso.

$(y - 2) = y - 2$

$(y - 2)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.6

Il fattore di $y + 11$ è $y + 11$ stesso.

$(y + 11) = y + 11$

$(y + 11)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.7

Il minimo comune multiplo di $y - 2, y - 2, y + 11$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$(y - 2) (y + 11)$

Passaggio 3

Moltiplica per $(y - 2) (y + 11)$ ciascun termine in $\frac{y - 5}{y - 2} = \frac{1}{(y - 2) (y + 11)}$ per eliminare le frazioni.

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Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{y - 5}{y - 2} = \frac{1}{(y - 2) (y + 11)}$ per $(y - 2) (y + 11)$ .

$\frac{y - 5}{y - 2} ((y - 2) (y + 11)) = \frac{1}{(y - 2) (y + 11)} ((y - 2) (y + 11))$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.1

Elimina il fattore comune di $y - 2$ .

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Passaggio 3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y - 5}{y - 2} ((y - 2) (y + 11)) = \frac{1}{(y - 2) (y + 11)} ((y - 2) (y + 11))$

Passaggio 3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$(y - 5) (y + 11) = \frac{1}{(y - 2) (y + 11)} ((y - 2) (y + 11))$

Passaggio 3.2.2

Espandi $(y - 5) (y + 11)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y (y + 11) - 5 (y + 11) = \frac{1}{(y - 2) (y + 11)} ((y - 2) (y + 11))$

Passaggio 3.2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$y \cdot y + y \cdot 11 - 5 (y + 11) = \frac{1}{(y - 2) (y + 11)} ((y - 2) (y + 11))$

Passaggio 3.2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$y \cdot y + y \cdot 11 - 5 y - 5 \cdot 11 = \frac{1}{(y - 2) (y + 11)} ((y - 2) (y + 11))$

Passaggio 3.2.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.3.1.1

Moltiplica $y$ per $y$ .

$y^{2} + y \cdot 11 - 5 y - 5 \cdot 11 = \frac{1}{(y - 2) (y + 11)} ((y - 2) (y + 11))$

Passaggio 3.2.3.1.2

Sposta $11$ alla sinistra di $y$ .

$y^{2} + 11 \cdot y - 5 y - 5 \cdot 11 = \frac{1}{(y - 2) (y + 11)} ((y - 2) (y + 11))$

Passaggio 3.2.3.1.3

Moltiplica $- 5$ per $11$ .

$y^{2} + 11 y - 5 y - 55 = \frac{1}{(y - 2) (y + 11)} ((y - 2) (y + 11))$

Passaggio 3.2.3.2

Sottrai $5 y$ da $11 y$ .

$y^{2} + 6 y - 55 = \frac{1}{(y - 2) (y + 11)} ((y - 2) (y + 11))$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.3.1

Elimina il fattore comune di $(y - 2) (y + 11)$ .

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Passaggio 3.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$y^{2} + 6 y - 55 = \frac{1}{(y - 2) (y + 11)} ((y - 2) (y + 11))$

Passaggio 3.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} + 6 y - 55 = 1$

Passaggio 4

Risolvi l'equazione.

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Passaggio 4.1

Sposta tutti i termini sul lato sinistro dell'equazione e semplifica.

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Passaggio 4.1.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} + 6 y - 55 - 1 = 0$

Passaggio 4.1.2

Sottrai $1$ da $- 55$ .

$y^{2} + 6 y - 56 = 0$

Passaggio 4.2

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 4.3

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 6$ e $c = - 56$ nella formula quadratica e risolvi per $y$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 56)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.4

Semplifica.

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Passaggio 4.4.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.4.1.1

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 56}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 56$ .

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Passaggio 4.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 56}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.4.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 56$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 224}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.4.1.3

Somma $36$ e $224$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{260}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.4.1.4

Riscrivi $260$ come $2^{2} \cdot 65$ .

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Passaggio 4.4.1.4.1

Scomponi $4$ da $260$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (65)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.4.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 65}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.4.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{65}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{65}}{2}$

Passaggio 4.4.3

Semplifica $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{65}}{2}$ .

$y = - 3 \pm \sqrt{65}$

Passaggio 4.5

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$y = - 3 + \sqrt{65}, - 3 - \sqrt{65}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$y = - 3 + \sqrt{65}, - 3 - \sqrt{65}$

Forma decimale:

$y = 5.06225774 \dots, - 11.06225774 \dots$