Preparazione all'algebra Esempi

$0.125 \cdot 4^{2 x - 8} = {(0.25 \div \sqrt{2})}^{- x}$

Passaggio 1

Riscrivi la divisione come una frazione.

$0.125 \cdot 4^{2 x - 8} = {(\frac{0.25}{\sqrt{2}})}^{- x}$

Passaggio 2

Moltiplica $\frac{0.25}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$0.125 \cdot 4^{2 x - 8} = {(\frac{0.25}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{- x}$

Passaggio 3

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.1

Moltiplica $\frac{0.25}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$0.125 \cdot 4^{2 x - 8} = {(\frac{0.25 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{- x}$

Passaggio 3.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$0.125 \cdot 4^{2 x - 8} = {(\frac{0.25 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{- x}$

Passaggio 3.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$0.125 \cdot 4^{2 x - 8} = {(\frac{0.25 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{- x}$

Passaggio 3.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$0.125 \cdot 4^{2 x - 8} = {(\frac{0.25 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{- x}$

Passaggio 3.5

Somma $1$ e $1$ .

$0.125 \cdot 4^{2 x - 8} = {(\frac{0.25 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{- x}$

Passaggio 3.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

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Passaggio 3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$0.125 \cdot 4^{2 x - 8} = {(\frac{0.25 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{- x}$

Passaggio 3.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0.125 \cdot 4^{2 x - 8} = {(\frac{0.25 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{- x}$

Passaggio 3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$0.125 \cdot 4^{2 x - 8} = {(\frac{0.25 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{- x}$

Passaggio 3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$0.125 \cdot 4^{2 x - 8} = {(\frac{0.25 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{- x}$

Passaggio 3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$0.125 \cdot 4^{2 x - 8} = {(\frac{0.25 \sqrt{2}}{2^{1}})}^{- x}$

Passaggio 3.6.5

Calcola l'esponente.

$0.125 \cdot 4^{2 x - 8} = {(\frac{0.25 \sqrt{2}}{2})}^{- x}$

Passaggio 4

Moltiplica $0.25$ per $\sqrt{2}$ .

$0.125 \cdot 4^{2 x - 8} = {(\frac{0.35355339}{2})}^{- x}$

Passaggio 5

Dividi $0.35355339$ per $2$ .

$0.125 \cdot 4^{2 x - 8} = {0.17677669}^{- x}$

Passaggio 6

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (0.125 \cdot 4^{2 x - 8}) = \ln ({0.17677669}^{- x})$

Passaggio 7

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 7.1

Riscrivi $\ln (0.125 \cdot 4^{2 x - 8})$ come $\ln (0.125) + \ln (4^{2 x - 8})$ .

$\ln (0.125) + \ln (4^{2 x - 8}) = \ln ({0.17677669}^{- x})$

Passaggio 7.2

Espandi $\ln (4^{2 x - 8})$ spostando $2 x - 8$ fuori dal logaritmo.

$\ln (0.125) + (2 x - 8) \ln (4) = \ln ({0.17677669}^{- x})$

Passaggio 8

Espandi $\ln ({0.17677669}^{- x})$ spostando $- x$ fuori dal logaritmo.

$\ln (0.125) + (2 x - 8) \ln (4) = - x \ln (0.17677669)$

Passaggio 9

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 9.1

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (0.125) + 2 x \ln (4) - 8 \ln (4) = - x \ln (0.17677669)$

Passaggio 10

Riordina $\ln (0.125)$ e $2 x \ln (4)$ .

$2 x \ln (4) + \ln (0.125) - 8 \ln (4) = - x \ln (0.17677669)$

Passaggio 11

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$2 x \ln (4) + \ln (0.125) - 8 \ln (4) + x \ln (0.17677669) = 0$

Passaggio 12

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 12.1

Sottrai $\ln (0.125)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x \ln (4) - 8 \ln (4) + x \ln (0.17677669) = - \ln (0.125)$

Passaggio 12.2

Somma $8 \ln (4)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x \ln (4) + x \ln (0.17677669) = - \ln (0.125) + 8 \ln (4)$

Passaggio 13

Scomponi $x$ da $2 x \ln (4) + x \ln (0.17677669)$ .

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Passaggio 13.1

Scomponi $x$ da $2 x \ln (4)$ .

$x (2 \ln (4)) + x \ln (0.17677669) = - \ln (0.125) + 8 \ln (4)$

Passaggio 13.2

Scomponi $x$ da $x \ln (0.17677669)$ .

$x (2 \ln (4)) + x (\ln (0.17677669)) = - \ln (0.125) + 8 \ln (4)$

Passaggio 13.3

Scomponi $x$ da $x (2 \ln (4)) + x (\ln (0.17677669))$ .

$x (2 \ln (4) + \ln (0.17677669)) = - \ln (0.125) + 8 \ln (4)$

Passaggio 14

Dividi per $2 \ln (4) + \ln (0.17677669)$ ciascun termine in $x (2 \ln (4) + \ln (0.17677669)) = - \ln (0.125) + 8 \ln (4)$ e semplifica.

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Passaggio 14.1

Dividi per $2 \ln (4) + \ln (0.17677669)$ ciascun termine in $x (2 \ln (4) + \ln (0.17677669)) = - \ln (0.125) + 8 \ln (4)$ .

$\frac{x (2 \ln (4) + \ln (0.17677669))}{2 \ln (4) + \ln (0.17677669)} = \frac{- \ln (0.125)}{2 \ln (4) + \ln (0.17677669)} + \frac{8 \ln (4)}{2 \ln (4) + \ln (0.17677669)}$

Passaggio 14.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 14.2.1

Elimina il fattore comune di $2 \ln (4) + \ln (0.17677669)$ .

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Passaggio 14.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (2 \ln (4) + \ln (0.17677669))}{2 \ln (4) + \ln (0.17677669)} = \frac{- \ln (0.125)}{2 \ln (4) + \ln (0.17677669)} + \frac{8 \ln (4)}{2 \ln (4) + \ln (0.17677669)}$

Passaggio 14.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- \ln (0.125)}{2 \ln (4) + \ln (0.17677669)} + \frac{8 \ln (4)}{2 \ln (4) + \ln (0.17677669)}$

Passaggio 14.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 14.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{- \ln (0.125) + 8 \ln (4)}{2 \ln (4) + \ln (0.17677669)}$

Passaggio 14.3.2

Scomponi $- 1$ da $- \ln (0.125)$ .

$x = \frac{- \ln (0.125) + 8 \ln (4)}{2 \ln (4) + \ln (0.17677669)}$

Passaggio 14.3.3

Scomponi $- 1$ da $8 \ln (4)$ .

$x = \frac{- \ln (0.125) - (- 8 \ln (4))}{2 \ln (4) + \ln (0.17677669)}$

Passaggio 14.3.4

Scomponi $- 1$ da $- \ln (0.125) - (- 8 \ln (4))$ .

$x = \frac{- (\ln (0.125) - 8 \ln (4))}{2 \ln (4) + \ln (0.17677669)}$

Passaggio 14.3.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 14.3.5.1

Riscrivi $- (\ln (0.125) - 8 \ln (4))$ come $- 1 (\ln (0.125) - 8 \ln (4))$ .

$x = \frac{- 1 (\ln (0.125) - 8 \ln (4))}{2 \ln (4) + \ln (0.17677669)}$

Passaggio 14.3.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{\ln (0.125) - 8 \ln (4)}{2 \ln (4) + \ln (0.17677669)}$

Passaggio 15

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = - \frac{\ln (0.125) - 8 \ln (4)}{2 \ln (4) + \ln (0.17677669)}$

Forma decimale:

$x = 12.\overline{6}$