Preparazione all'algebra Esempi

$x^{6} - 35 x^{3} + 216 = 0$

Passaggio 1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi $x^{6}$ come ${(x^{3})}^{2}$ .

${(x^{3})}^{2} - 35 x^{3} + 216 = 0$

Passaggio 1.2

Sia $u = x^{3}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{3}$ con $u$ .

$u^{2} - 35 u + 216 = 0$

Passaggio 1.3

Scomponi $u^{2} - 35 u + 216$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $216$ e la cui somma è $- 35$ .

$- 27, - 8$

Passaggio 1.3.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(u - 27) (u - 8) = 0$

Passaggio 1.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{3}$ .

$(x^{3} - 27) (x^{3} - 8) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{3} - 27 = 0$

$x^{3} - 8 = 0$

Passaggio 3

Imposta $x^{3} - 27$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta $x^{3} - 27$ uguale a $0$ .

$x^{3} - 27 = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi $x^{3} - 27 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Somma $27$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{3} = 27$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $27$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{3} - 27 = 0$

Passaggio 3.2.3

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Riscrivi $27$ come $3^{3}$ .

$x^{3} - 3^{3} = 0$

Passaggio 3.2.3.2

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = x$ e $b = 3$ .

$(x - 3) (x^{2} + x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Passaggio 3.2.3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.3.1

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$(x - 3) (x^{2} + 3 x + 3^{2}) = 0$

Passaggio 3.2.3.3.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$

Passaggio 3.2.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x^{2} + 3 x + 9 = 0$

Passaggio 3.2.5

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 3.2.5.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 3.2.6

Imposta $x^{2} + 3 x + 9$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.6.1

Imposta $x^{2} + 3 x + 9$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 3 x + 9 = 0$

Passaggio 3.2.6.2

Risolvi $x^{2} + 3 x + 9 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.6.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.2.6.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 3$ e $c = 9$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.2.6.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.6.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.6.2.3.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.2.6.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.6.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.2.6.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.2.6.2.3.1.3

Sottrai $36$ da $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.2.6.2.3.1.4

Riscrivi $- 27$ come $- 1 (27)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.2.6.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (27)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.2.6.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.2.6.2.3.1.7

Riscrivi $27$ come $3^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.6.2.3.1.7.1

Scomponi $9$ da $27$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.2.6.2.3.1.7.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.2.6.2.3.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.2.6.2.3.1.9

Sposta $3$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.2.6.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 3.2.6.2.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 3.2.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$ vera.

$x = 3, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 4

Imposta $x^{3} - 8$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta $x^{3} - 8$ uguale a $0$ .

$x^{3} - 8 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $x^{3} - 8 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Somma $8$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{3} = 8$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $8$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{3} - 8 = 0$

Passaggio 4.2.3

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$x^{3} - 2^{3} = 0$

Passaggio 4.2.3.2

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$(x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Passaggio 4.2.3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.3.1

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2}) = 0$

Passaggio 4.2.3.3.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

Passaggio 4.2.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Passaggio 4.2.5

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 4.2.5.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 4.2.6

Imposta $x^{2} + 2 x + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.1

Imposta $x^{2} + 2 x + 4$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Passaggio 4.2.6.2

Risolvi $x^{2} + 2 x + 4 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 4.2.6.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 2$ e $c = 4$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.6.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.2.3.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.6.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.6.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.6.2.3.1.3

Sottrai $16$ da $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.6.2.3.1.4

Riscrivi $- 12$ come $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.6.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (12)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.6.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.6.2.3.1.7

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.2.3.1.7.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.6.2.3.1.7.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.6.2.3.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.6.2.3.1.9

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.6.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 4.2.6.2.3.3

Semplifica $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Passaggio 4.2.6.2.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Passaggio 4.2.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$ vera.

$x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Passaggio 5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x^{3} - 27) (x^{3} - 8) = 0$ vera.

$x = 3, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}, 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$