Preparazione all'algebra Esempi

$x^{3} = \frac{64}{27}$

Passaggio 1

Sottrai $\frac{64}{27}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{3} - \frac{64}{27} = 0$

Passaggio 2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Riscrivi $\frac{64}{27}$ come ${(\frac{4}{3})}^{3}$ .

$x^{3} - {(\frac{4}{3})}^{3} = 0$

Passaggio 2.2

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = x$ e $b = \frac{4}{3}$ .

$(x - \frac{4}{3}) (x^{2} + x (\frac{4}{3}) + {(\frac{4}{3})}^{2}) = 0$

Passaggio 2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

$x$ e $\frac{4}{3}$ .

$(x - \frac{4}{3}) (x^{2} + \frac{x \cdot 4}{3} + {(\frac{4}{3})}^{2}) = 0$

Passaggio 2.3.2

Sposta $4$ alla sinistra di $x$ .

$(x - \frac{4}{3}) (x^{2} + \frac{4 \cdot x}{3} + {(\frac{4}{3})}^{2}) = 0$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $4$ per $x$ .

$(x - \frac{4}{3}) (x^{2} + \frac{4 x}{3} + {(\frac{4}{3})}^{2}) = 0$

Passaggio 2.3.4

Applica la regola del prodotto a $\frac{4}{3}$ .

$(x - \frac{4}{3}) (x^{2} + \frac{4 x}{3} + \frac{4^{2}}{3^{2}}) = 0$

Passaggio 2.3.5

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$(x - \frac{4}{3}) (x^{2} + \frac{4 x}{3} + \frac{16}{3^{2}}) = 0$

Passaggio 2.3.6

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$(x - \frac{4}{3}) (x^{2} + \frac{4 x}{3} + \frac{16}{9}) = 0$

Passaggio 3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - \frac{4}{3} = 0$

$x^{2} + \frac{4 x}{3} + \frac{16}{9} = 0$

Passaggio 4

Imposta $x - \frac{4}{3}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Imposta $x - \frac{4}{3}$ uguale a $0$ .

$x - \frac{4}{3} = 0$

Passaggio 4.2

Somma $\frac{4}{3}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = \frac{4}{3}$

Passaggio 5

Imposta $x^{2} + \frac{4 x}{3} + \frac{16}{9}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.1

Imposta $x^{2} + \frac{4 x}{3} + \frac{16}{9}$ uguale a $0$ .

$x^{2} + \frac{4 x}{3} + \frac{16}{9} = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi $x^{2} + \frac{4 x}{3} + \frac{16}{9} = 0$ per $x$ .

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Passaggio 5.2.1

Moltiplica per il minimo comune denominatore $9$ , quindi semplifica.

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Passaggio 5.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$9 x^{2} + 9 (\frac{4 x}{3}) + 9 (\frac{16}{9}) = 0$

Passaggio 5.2.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.2.1.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$9 x^{2} + 3 (3) (\frac{4 x}{3}) + 9 (\frac{16}{9}) = 0$

Passaggio 5.2.1.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$9 x^{2} + 3 \cdot (3 (\frac{4 x}{3})) + 9 (\frac{16}{9}) = 0$

Passaggio 5.2.1.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$9 x^{2} + 3 (4 x) + 9 (\frac{16}{9}) = 0$

Passaggio 5.2.1.2.2

Moltiplica $4$ per $3$ .

$9 x^{2} + 12 x + 9 (\frac{16}{9}) = 0$

Passaggio 5.2.1.2.3

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$9 x^{2} + 12 x + 9 (\frac{16}{9}) = 0$

Passaggio 5.2.1.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$9 x^{2} + 12 x + 16 = 0$

Passaggio 5.2.2

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 5.2.3

Sostituisci i valori $a = 9$ , $b = 12$ e $c = 16$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (9 \cdot 16)}}{2 \cdot 9}$

Passaggio 5.2.4

Semplifica.

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Passaggio 5.2.4.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.2.4.1.1

Eleva $12$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 9 \cdot 16}}{2 \cdot 9}$

Passaggio 5.2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 9 \cdot 16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $9$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 36 \cdot 16}}{2 \cdot 9}$

Passaggio 5.2.4.1.2.2

Moltiplica $- 36$ per $16$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 576}}{2 \cdot 9}$

Passaggio 5.2.4.1.3

Sottrai $576$ da $144$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 432}}{2 \cdot 9}$

Passaggio 5.2.4.1.4

Riscrivi $- 432$ come $- 1 (432)$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 432}}{2 \cdot 9}$

Passaggio 5.2.4.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (432)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 9}$

Passaggio 5.2.4.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 9}$

Passaggio 5.2.4.1.7

Riscrivi $432$ come $12^{2} \cdot 3$ .

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Passaggio 5.2.4.1.7.1

Scomponi $144$ da $432$ .

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{144 (3)}}{2 \cdot 9}$

Passaggio 5.2.4.1.7.2

Riscrivi $144$ come $12^{2}$ .

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{12^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 9}$

Passaggio 5.2.4.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot (12 \sqrt{3})}{2 \cdot 9}$

Passaggio 5.2.4.1.9

Sposta $12$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{2 \cdot 9}$

Passaggio 5.2.4.2

Moltiplica $2$ per $9$ .

$x = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{18}$

Passaggio 5.2.4.3

Semplifica $\frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{18}$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 5.2.5

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - \frac{2 - 2 i \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 + 2 i \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - \frac{4}{3}) (x^{2} + \frac{4 x}{3} + \frac{16}{9}) = 0$ vera.

$x = \frac{4}{3}, - \frac{2 - 2 i \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 + 2 i \sqrt{3}}{3}$