Preparazione all'algebra Esempi

$x^{3} = \frac{125}{216}$

Passaggio 1

Sottrai $\frac{125}{216}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{3} - \frac{125}{216} = 0$

Passaggio 2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi $\frac{125}{216}$ come ${(\frac{5}{6})}^{3}$ .

$x^{3} - {(\frac{5}{6})}^{3} = 0$

Passaggio 2.2

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = x$ e $b = \frac{5}{6}$ .

$(x - \frac{5}{6}) (x^{2} + x (\frac{5}{6}) + {(\frac{5}{6})}^{2}) = 0$

Passaggio 2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

$x$ e $\frac{5}{6}$ .

$(x - \frac{5}{6}) (x^{2} + \frac{x \cdot 5}{6} + {(\frac{5}{6})}^{2}) = 0$

Passaggio 2.3.2

Sposta $5$ alla sinistra di $x$ .

$(x - \frac{5}{6}) (x^{2} + \frac{5 \cdot x}{6} + {(\frac{5}{6})}^{2}) = 0$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $5$ per $x$ .

$(x - \frac{5}{6}) (x^{2} + \frac{5 x}{6} + {(\frac{5}{6})}^{2}) = 0$

Passaggio 2.3.4

Applica la regola del prodotto a $\frac{5}{6}$ .

$(x - \frac{5}{6}) (x^{2} + \frac{5 x}{6} + \frac{5^{2}}{6^{2}}) = 0$

Passaggio 2.3.5

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$(x - \frac{5}{6}) (x^{2} + \frac{5 x}{6} + \frac{25}{6^{2}}) = 0$

Passaggio 2.3.6

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$(x - \frac{5}{6}) (x^{2} + \frac{5 x}{6} + \frac{25}{36}) = 0$

Passaggio 3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - \frac{5}{6} = 0$

$x^{2} + \frac{5 x}{6} + \frac{25}{36} = 0$

Passaggio 4

Imposta $x - \frac{5}{6}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Imposta $x - \frac{5}{6}$ uguale a $0$ .

$x - \frac{5}{6} = 0$

Passaggio 4.2

Somma $\frac{5}{6}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = \frac{5}{6}$

Passaggio 5

Imposta $x^{2} + \frac{5 x}{6} + \frac{25}{36}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.1

Imposta $x^{2} + \frac{5 x}{6} + \frac{25}{36}$ uguale a $0$ .

$x^{2} + \frac{5 x}{6} + \frac{25}{36} = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi $x^{2} + \frac{5 x}{6} + \frac{25}{36} = 0$ per $x$ .

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Passaggio 5.2.1

Moltiplica per il minimo comune denominatore $36$ , quindi semplifica.

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Passaggio 5.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$36 x^{2} + 36 (\frac{5 x}{6}) + 36 (\frac{25}{36}) = 0$

Passaggio 5.2.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.2.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

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Passaggio 5.2.1.2.1.1

Scomponi $6$ da $36$ .

$36 x^{2} + 6 (6) (\frac{5 x}{6}) + 36 (\frac{25}{36}) = 0$

Passaggio 5.2.1.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$36 x^{2} + 6 \cdot (6 (\frac{5 x}{6})) + 36 (\frac{25}{36}) = 0$

Passaggio 5.2.1.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$36 x^{2} + 6 (5 x) + 36 (\frac{25}{36}) = 0$

Passaggio 5.2.1.2.2

Moltiplica $5$ per $6$ .

$36 x^{2} + 30 x + 36 (\frac{25}{36}) = 0$

Passaggio 5.2.1.2.3

Elimina il fattore comune di $36$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$36 x^{2} + 30 x + 36 (\frac{25}{36}) = 0$

Passaggio 5.2.1.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$36 x^{2} + 30 x + 25 = 0$

Passaggio 5.2.2

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 5.2.3

Sostituisci i valori $a = 36$ , $b = 30$ e $c = 25$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 30 \pm \sqrt{30^{2} - 4 \cdot (36 \cdot 25)}}{2 \cdot 36}$

Passaggio 5.2.4

Semplifica.

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Passaggio 5.2.4.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.2.4.1.1

Eleva $30$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 30 \pm \sqrt{900 - 4 \cdot 36 \cdot 25}}{2 \cdot 36}$

Passaggio 5.2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 36 \cdot 25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $36$ .

$x = \frac{- 30 \pm \sqrt{900 - 144 \cdot 25}}{2 \cdot 36}$

Passaggio 5.2.4.1.2.2

Moltiplica $- 144$ per $25$ .

$x = \frac{- 30 \pm \sqrt{900 - 3600}}{2 \cdot 36}$

Passaggio 5.2.4.1.3

Sottrai $3600$ da $900$ .

$x = \frac{- 30 \pm \sqrt{- 2700}}{2 \cdot 36}$

Passaggio 5.2.4.1.4

Riscrivi $- 2700$ come $- 1 (2700)$ .

$x = \frac{- 30 \pm \sqrt{- 1 \cdot 2700}}{2 \cdot 36}$

Passaggio 5.2.4.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (2700)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2700}$ .

$x = \frac{- 30 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2700}}{2 \cdot 36}$

Passaggio 5.2.4.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 30 \pm i \cdot \sqrt{2700}}{2 \cdot 36}$

Passaggio 5.2.4.1.7

Riscrivi $2700$ come $30^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1.7.1

Scomponi $900$ da $2700$ .

$x = \frac{- 30 \pm i \cdot \sqrt{900 (3)}}{2 \cdot 36}$

Passaggio 5.2.4.1.7.2

Riscrivi $900$ come $30^{2}$ .

$x = \frac{- 30 \pm i \cdot \sqrt{30^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 36}$

Passaggio 5.2.4.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 30 \pm i \cdot (30 \sqrt{3})}{2 \cdot 36}$

Passaggio 5.2.4.1.9

Sposta $30$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{- 30 \pm 30 i \sqrt{3}}{2 \cdot 36}$

Passaggio 5.2.4.2

Moltiplica $2$ per $36$ .

$x = \frac{- 30 \pm 30 i \sqrt{3}}{72}$

Passaggio 5.2.4.3

Semplifica $\frac{- 30 \pm 30 i \sqrt{3}}{72}$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{12}$

Passaggio 5.2.5

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{12}, - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{12}$

Passaggio 6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - \frac{5}{6}) (x^{2} + \frac{5 x}{6} + \frac{25}{36}) = 0$ vera.

$x = \frac{5}{6}, - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{12}, - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{12}$