Preparazione all'algebra Esempi

$x^{3} - 34 x - 12 = 0$

Passaggio 1

Scomponi $x^{3} - 34 x - 12$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

Passaggio 1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

Passaggio 1.3

Sostituisci $6$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $6$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 1.3.1

Sostituisci $6$ nel polinomio.

$6^{3} - 34 \cdot 6 - 12$

Passaggio 1.3.2

Eleva $6$ alla potenza di $3$ .

$216 - 34 \cdot 6 - 12$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $- 34$ per $6$ .

$216 - 204 - 12$

Passaggio 1.3.4

Sottrai $204$ da $216$ .

$12 - 12$

Passaggio 1.3.5

Sottrai $12$ da $12$ .

$0$

Passaggio 1.4

Poiché $6$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 6$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} - 34 x - 12}{x - 6}$

Passaggio 1.5

Dividi $x^{3} - 34 x - 12$ per $x - 6$ .

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Passaggio 1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$6$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$34 x$

$12$

Passaggio 1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$34 x$	-	$12$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$34 x$	-	$12$
			+	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$

Passaggio 1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} - 6 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$34 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$

Passaggio 1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$34 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$

Passaggio 1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$34 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$34 x$

Passaggio 1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $6 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$34 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$34 x$

Passaggio 1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$34 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$34 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$36 x$

Passaggio 1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $6 x^{2} - 36 x$

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$34 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$34 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$36 x$

Passaggio 1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$34 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$34 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$36 x$
							+	$2 x$

Passaggio 1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$34 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$34 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$36 x$
							+	$2 x$	-	$12$

Passaggio 1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $2 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$2$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$34 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$34 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$36 x$
							+	$2 x$	-	$12$

Passaggio 1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$2$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$34 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$34 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$36 x$
							+	$2 x$	-	$12$
							+	$2 x$	-	$12$

Passaggio 1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $2 x - 12$

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$2$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$34 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$34 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$36 x$
							+	$2 x$	-	$12$
							-	$2 x$	+	$12$

Passaggio 1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$2$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$34 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$34 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$36 x$
							+	$2 x$	-	$12$
							-	$2 x$	+	$12$
										$0$

Passaggio 1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} + 6 x + 2$

Passaggio 1.6

Scrivi $x^{3} - 34 x - 12$ come insieme di fattori.

$(x - 6) (x^{2} + 6 x + 2) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 6 = 0$

$x^{2} + 6 x + 2 = 0$

Passaggio 3

Imposta $x - 6$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Imposta $x - 6$ uguale a $0$ .

$x - 6 = 0$

Passaggio 3.2

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 6$

Passaggio 4

Imposta $x^{2} + 6 x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Imposta $x^{2} + 6 x + 2$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 6 x + 2 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $x^{2} + 6 x + 2 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 4.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 4.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 6$ e $c = 2$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3

Semplifica.

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Passaggio 4.2.3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.2.3.1.1

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Passaggio 4.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 8}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3.1.3

Sottrai $8$ da $36$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3.1.4

Riscrivi $28$ come $2^{2} \cdot 7$ .

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Passaggio 4.2.3.1.4.1

Scomponi $4$ da $28$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

Passaggio 4.2.3.3

Semplifica $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ .

$x = - 3 \pm \sqrt{7}$

Passaggio 4.2.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - 3 + \sqrt{7}, - 3 - \sqrt{7}$

Passaggio 5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 6) (x^{2} + 6 x + 2) = 0$ vera.

$x = 6, - 3 + \sqrt{7}, - 3 - \sqrt{7}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = 6, - 3 + \sqrt{7}, - 3 - \sqrt{7}$

Forma decimale:

$x = 6, - 0.35424868 \dots, - 5.64575131 \dots$