Preparazione all'algebra Esempi

$\frac{x}{x - 3} + \frac{21}{x^{2} - 4} = \frac{18}{x^{2} - 9}$

Passaggio 1

Semplifica $\frac{x}{x - 3} + \frac{21}{x^{2} - 4}$ .

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Passaggio 1.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{x}{x - 3} + \frac{21}{x^{2} - 2^{2}} = \frac{18}{x^{2} - 9}$

Passaggio 1.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$\frac{x}{x - 3} + \frac{21}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{18}{x^{2} - 9}$

Passaggio 1.2

Per scrivere $\frac{x}{x - 3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}$ .

$\frac{x}{x - 3} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{21}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{18}{x^{2} - 9}$

Passaggio 1.3

Per scrivere $\frac{21}{(x + 2) (x - 2)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{x}{x - 3} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{21}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} = \frac{18}{x^{2} - 9}$

Passaggio 1.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(x - 3) (x + 2) (x - 2)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 1.4.1

Moltiplica $\frac{x}{x - 3}$ per $\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}$ .

$\frac{x ((x + 2) (x - 2))}{(x - 3) ((x + 2) (x - 2))} + \frac{21}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} = \frac{18}{x^{2} - 9}$

Passaggio 1.4.2

Moltiplica $\frac{21}{(x + 2) (x - 2)}$ per $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{x ((x + 2) (x - 2))}{(x - 3) ((x + 2) (x - 2))} + \frac{21 (x - 3)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)} = \frac{18}{x^{2} - 9}$

Passaggio 1.4.3

Riordina i fattori di $(x - 3) ((x + 2) (x - 2))$ .

$\frac{x ((x + 2) (x - 2))}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)} + \frac{21 (x - 3)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)} = \frac{18}{x^{2} - 9}$

Passaggio 1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x ((x + 2) (x - 2)) + 21 (x - 3)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)} = \frac{18}{x^{2} - 9}$

Passaggio 1.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.6.1

Espandi $(x + 2) (x - 2)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.6.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (x (x - 2) + 2 (x - 2)) + 21 (x - 3)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)} = \frac{18}{x^{2} - 9}$

Passaggio 1.6.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)) + 21 (x - 3)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)} = \frac{18}{x^{2} - 9}$

Passaggio 1.6.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2) + 21 (x - 3)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)} = \frac{18}{x^{2} - 9}$

Passaggio 1.6.2

Combina i termini opposti in $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

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Passaggio 1.6.2.1

Riordina i fattori nei termini di $x \cdot - 2$ e $2 x$ .

$\frac{x (x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2) + 21 (x - 3)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)} = \frac{18}{x^{2} - 9}$

Passaggio 1.6.2.2

Somma $- 2 x$ e $2 x$ .

$\frac{x (x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2) + 21 (x - 3)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)} = \frac{18}{x^{2} - 9}$

Passaggio 1.6.2.3

Somma $x \cdot x$ e $0$ .

$\frac{x (x \cdot x + 2 \cdot - 2) + 21 (x - 3)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)} = \frac{18}{x^{2} - 9}$

Passaggio 1.6.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.6.3.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{x (x^{2} + 2 \cdot - 2) + 21 (x - 3)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)} = \frac{18}{x^{2} - 9}$

Passaggio 1.6.3.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$\frac{x (x^{2} - 4) + 21 (x - 3)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)} = \frac{18}{x^{2} - 9}$

Passaggio 1.6.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot - 4 + 21 (x - 3)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)} = \frac{18}{x^{2} - 9}$

Passaggio 1.6.5

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.6.5.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

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Passaggio 1.6.5.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{1} x^{2} + x \cdot - 4 + 21 (x - 3)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)} = \frac{18}{x^{2} - 9}$

Passaggio 1.6.5.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{1 + 2} + x \cdot - 4 + 21 (x - 3)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)} = \frac{18}{x^{2} - 9}$

Passaggio 1.6.5.2

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{x^{3} + x \cdot - 4 + 21 (x - 3)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)} = \frac{18}{x^{2} - 9}$

Passaggio 1.6.6

Sposta $- 4$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{x^{3} - 4 \cdot x + 21 (x - 3)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)} = \frac{18}{x^{2} - 9}$

Passaggio 1.6.7

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{3} - 4 x + 21 x + 21 \cdot - 3}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)} = \frac{18}{x^{2} - 9}$

Passaggio 1.6.8

Moltiplica $21$ per $- 3$ .

$\frac{x^{3} - 4 x + 21 x - 63}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)} = \frac{18}{x^{2} - 9}$

Passaggio 1.6.9

Somma $- 4 x$ e $21 x$ .

$\frac{x^{3} + 17 x - 63}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)} = \frac{18}{x^{2} - 9}$

Passaggio 2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 2.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{x^{3} + 17 x - 63}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)} = \frac{18}{x^{2} - 3^{2}}$

Passaggio 2.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 3$ .

$\frac{x^{3} + 17 x - 63}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)} = \frac{18}{(x + 3) (x - 3)}$

Passaggio 3

Rappresenta graficamente ogni lato dell'equazione. La soluzione è il valore x del punto di intersezione.

$x \approx - 4.16642404$

Passaggio 4