Preparazione all'algebra Esempi

$\sqrt{x} - 5 \sqrt[4]{x} - 24 = 0$

Passaggio 1

Fattorizza $\sqrt{x} - 5 \sqrt[4]{x} - 24$ .

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Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} - 5 \sqrt[4]{x} - 24 = 0$

Passaggio 1.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[4]{x}$ come $x^{\frac{1}{4}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} - 5 x^{\frac{1}{4}} - 24 = 0$

Passaggio 1.3

Riscrivi $x^{\frac{1}{2}}$ come ${(x^{\frac{1}{4}})}^{2}$ .

${(x^{\frac{1}{4}})}^{2} - 5 x^{\frac{1}{4}} - 24 = 0$

Passaggio 1.4

Sia $u = x^{\frac{1}{4}}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{\frac{1}{4}}$ con $u$ .

$u^{2} - 5 u - 24 = 0$

Passaggio 1.5

Scomponi $u^{2} - 5 u - 24$ usando il metodo AC.

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Passaggio 1.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 24$ e la cui somma è $- 5$ .

$- 8, 3$

Passaggio 1.5.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(u - 8) (u + 3) = 0$

Passaggio 1.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{\frac{1}{4}}$ .

$(x^{\frac{1}{4}} - 8) (x^{\frac{1}{4}} + 3) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{\frac{1}{4}} - 8 = 0$

$x^{\frac{1}{4}} + 3 = 0$

Passaggio 3

Imposta $x^{\frac{1}{4}} - 8$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Imposta $x^{\frac{1}{4}} - 8$ uguale a $0$ .

$x^{\frac{1}{4}} - 8 = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi $x^{\frac{1}{4}} - 8 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 3.2.1

Somma $8$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{\frac{1}{4}} = 8$

Passaggio 3.2.2

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $4$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(x^{\frac{1}{4}})}^{4} = 8^{4}$

Passaggio 3.2.3

Semplifica l'esponente.

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Passaggio 3.2.3.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.3.1.1

Semplifica ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 8^{4}$

Passaggio 3.2.3.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 8^{4}$

Passaggio 3.2.3.1.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{1} = 8^{4}$

Passaggio 3.2.3.1.1.2

Semplifica.

$x = 8^{4}$

Passaggio 3.2.3.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.3.2.1

Eleva $8$ alla potenza di $4$ .

$x = 4096$

Passaggio 4

Imposta $x^{\frac{1}{4}} + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Imposta $x^{\frac{1}{4}} + 3$ uguale a $0$ .

$x^{\frac{1}{4}} + 3 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $x^{\frac{1}{4}} + 3 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 4.2.1

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{\frac{1}{4}} = - 3$

Passaggio 4.2.2

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $4$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(x^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(- 3)}^{4}$

Passaggio 4.2.3

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.2.3.1.1

Semplifica ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Passaggio 4.2.3.1.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(- 3)}^{4}$

Passaggio 4.2.3.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(- 3)}^{4}$

Passaggio 4.2.3.1.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{1} = {(- 3)}^{4}$

Passaggio 4.2.3.1.1.2

Semplifica.

$x = {(- 3)}^{4}$

Passaggio 4.2.3.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.2.3.2.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $4$ .

$x = 81$

Passaggio 5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x^{\frac{1}{4}} - 8) (x^{\frac{1}{4}} + 3) = 0$ vera.

$x = 4096, 81$

Passaggio 6

Escludi le soluzioni che non rendono $\sqrt{x} - 5 \sqrt[4]{x} - 24 = 0$ vera.

$x = 4096$