Preparazione all'algebra Esempi

$e^{2 x} + 2 e^{x} - 15 = 0$

Passaggio 1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 1.1

Riscrivi $e^{2 x}$ come ${(e^{x})}^{2}$ .

${(e^{x})}^{2} + 2 e^{x} - 15 = 0$

Passaggio 1.2

Sia $u = e^{x}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $e^{x}$ con $u$ .

$u^{2} + 2 u - 15 = 0$

Passaggio 1.3

Scomponi $u^{2} + 2 u - 15$ usando il metodo AC.

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Passaggio 1.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 15$ e la cui somma è $2$ .

$- 3, 5$

Passaggio 1.3.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(u - 3) (u + 5) = 0$

Passaggio 1.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $e^{x}$ .

$(e^{x} - 3) (e^{x} + 5) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$e^{x} - 3 = 0$

$e^{x} + 5 = 0$

Passaggio 3

Imposta $e^{x} - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Imposta $e^{x} - 3$ uguale a $0$ .

$e^{x} - 3 = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi $e^{x} - 3 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 3.2.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$e^{x} = 3$

Passaggio 3.2.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (3)$

Passaggio 3.2.3

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.3.1

Espandi $\ln (e^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (3)$

Passaggio 3.2.3.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (3)$

Passaggio 3.2.3.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x = \ln (3)$

Passaggio 4

Imposta $e^{x} + 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Imposta $e^{x} + 5$ uguale a $0$ .

$e^{x} + 5 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $e^{x} + 5 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 4.2.1

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$e^{x} = - 5$

Passaggio 4.2.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (- 5)$

Passaggio 4.2.3

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (- 5)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 4.2.4

Non c'è soluzione per $e^{x} = - 5$

Nessuna soluzione

Passaggio 5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(e^{x} - 3) (e^{x} + 5) = 0$ vera.

$x = \ln (3)$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = \ln (3)$

Forma decimale:

$x = 1.09861228 \dots$