Preparazione all'algebra Esempi

$8 x^{\frac{1}{3}} = x^{- \frac{2}{3}}$

Passaggio 1

Elimina l'esponente frazionario moltiplicando entrambi gli esponenti per il minimo comune denominatore.

${(8 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x^{- \frac{2}{3}})}^{3}$

Passaggio 2

Semplifica ${(8 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Applica la regola del prodotto a $8 x^{\frac{1}{3}}$ .

$8^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x^{- \frac{2}{3}})}^{3}$

Passaggio 2.2

Eleva $8$ alla potenza di $3$ .

$512 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x^{- \frac{2}{3}})}^{3}$

Passaggio 2.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$512 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x^{- \frac{2}{3}})}^{3}$

Passaggio 2.3.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$512 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x^{- \frac{2}{3}})}^{3}$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$512 x^{1} = {(x^{- \frac{2}{3}})}^{3}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

$512 x = {(x^{- \frac{2}{3}})}^{3}$

Passaggio 3

Semplifica ${(x^{- \frac{2}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{- \frac{2}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$512 x = x^{- \frac{2}{3} \cdot 3}$

Passaggio 3.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2}{3}$ nel numeratore.

$512 x = x^{\frac{- 2}{3} \cdot 3}$

Passaggio 3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$512 x = x^{\frac{- 2}{3} \cdot 3}$

Passaggio 3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$512 x = x^{- 2}$

Passaggio 3.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$512 x = \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 4

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$1, x^{2}$

Passaggio 4.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$x^{2}$

Passaggio 5

Moltiplica per $x^{2}$ ciascun termine in $512 x = \frac{1}{x^{2}}$ per eliminare le frazioni.

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Passaggio 5.1

Moltiplica ogni termine in $512 x = \frac{1}{x^{2}}$ per $x^{2}$ .

$512 x \cdot x^{2} = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.2.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Sposta $x^{2}$ .

$512 (x^{2} x) = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$512 (x^{2} x^{1}) = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Passaggio 5.2.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$512 x^{2 + 1} = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Passaggio 5.2.1.3

Somma $2$ e $1$ .

$512 x^{3} = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Passaggio 5.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.3.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$512 x^{3} = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Passaggio 5.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$512 x^{3} = 1$

Passaggio 6

Risolvi l'equazione.

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Passaggio 6.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$512 x^{3} - 1 = 0$

Passaggio 6.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 6.2.1

Riscrivi $512 x^{3}$ come ${(8 x)}^{3}$ .

${(8 x)}^{3} - 1 = 0$

Passaggio 6.2.2

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

${(8 x)}^{3} - 1^{3} = 0$

Passaggio 6.2.3

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = 8 x$ e $b = 1$ .

$(8 x - 1) ({(8 x)}^{2} + 8 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Passaggio 6.2.4

Semplifica.

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Passaggio 6.2.4.1

Applica la regola del prodotto a $8 x$ .

$(8 x - 1) (8^{2} x^{2} + 8 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Passaggio 6.2.4.2

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$(8 x - 1) (64 x^{2} + 8 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Passaggio 6.2.4.3

Moltiplica $8$ per $1$ .

$(8 x - 1) (64 x^{2} + 8 x + 1^{2}) = 0$

Passaggio 6.2.4.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$(8 x - 1) (64 x^{2} + 8 x + 1) = 0$

Passaggio 6.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$8 x - 1 = 0$

$64 x^{2} + 8 x + 1 = 0$

Passaggio 6.4

Imposta $8 x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 6.4.1

Imposta $8 x - 1$ uguale a $0$ .

$8 x - 1 = 0$

Passaggio 6.4.2

Risolvi $8 x - 1 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 6.4.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$8 x = 1$

Passaggio 6.4.2.2

Dividi per $8$ ciascun termine in $8 x = 1$ e semplifica.

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Passaggio 6.4.2.2.1

Dividi per $8$ ciascun termine in $8 x = 1$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{1}{8}$

Passaggio 6.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 6.4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $8$ .

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Passaggio 6.4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{8 x}{8} = \frac{1}{8}$

Passaggio 6.4.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{1}{8}$

Passaggio 6.5

Imposta $64 x^{2} + 8 x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 6.5.1

Imposta $64 x^{2} + 8 x + 1$ uguale a $0$ .

$64 x^{2} + 8 x + 1 = 0$

Passaggio 6.5.2

Risolvi $64 x^{2} + 8 x + 1 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 6.5.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 6.5.2.2

Sostituisci i valori $a = 64$ , $b = 8$ e $c = 1$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (64 \cdot 1)}}{2 \cdot 64}$

Passaggio 6.5.2.3

Semplifica.

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Passaggio 6.5.2.3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.5.2.3.1.1

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 64 \cdot 1}}{2 \cdot 64}$

Passaggio 6.5.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 64 \cdot 1$ .

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Passaggio 6.5.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 256 \cdot 1}}{2 \cdot 64}$

Passaggio 6.5.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 256$ per $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 256}}{2 \cdot 64}$

Passaggio 6.5.2.3.1.3

Sottrai $256$ da $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 192}}{2 \cdot 64}$

Passaggio 6.5.2.3.1.4

Riscrivi $- 192$ come $- 1 (192)$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 192}}{2 \cdot 64}$

Passaggio 6.5.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (192)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 64}$

Passaggio 6.5.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 64}$

Passaggio 6.5.2.3.1.7

Riscrivi $192$ come $8^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.3.1.7.1

Scomponi $64$ da $192$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{64 (3)}}{2 \cdot 64}$

Passaggio 6.5.2.3.1.7.2

Riscrivi $64$ come $8^{2}$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 64}$

Passaggio 6.5.2.3.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot (8 \sqrt{3})}{2 \cdot 64}$

Passaggio 6.5.2.3.1.9

Sposta $8$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2 \cdot 64}$

Passaggio 6.5.2.3.2

Moltiplica $2$ per $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{128}$

Passaggio 6.5.2.3.3

Semplifica $\frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{128}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{16}$

Passaggio 6.5.2.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{16}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{16}$

Passaggio 6.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(8 x - 1) (64 x^{2} + 8 x + 1) = 0$ vera.

$x = \frac{1}{8}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{16}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{16}$