Preparazione all'algebra Esempi

$\frac{p + 8}{p^{2} + 8 p + 12} - \frac{11}{p^{2} + 6 p + 8} = \frac{1}{p^{2} + 10 p + 24}$

Passaggio 1

Scomponi ogni termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi $p^{2} + 8 p + 12$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $12$ e la cui somma è $8$ .

$2, 6$

Passaggio 1.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$\frac{p + 8}{(p + 2) (p + 6)} - \frac{11}{p^{2} + 6 p + 8} = \frac{1}{p^{2} + 10 p + 24}$

Passaggio 1.2

Scomponi $p^{2} + 6 p + 8$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $8$ e la cui somma è $6$ .

$2, 4$

Passaggio 1.2.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$\frac{p + 8}{(p + 2) (p + 6)} - \frac{11}{(p + 2) (p + 4)} = \frac{1}{p^{2} + 10 p + 24}$

Passaggio 1.3

Scomponi $p^{2} + 10 p + 24$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $24$ e la cui somma è $10$ .

$4, 6$

Passaggio 1.3.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$\frac{p + 8}{(p + 2) (p + 6)} - \frac{11}{(p + 2) (p + 4)} = \frac{1}{(p + 4) (p + 6)}$

Passaggio 2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$(p + 2) (p + 6), (p + 2) (p + 4), (p + 4) (p + 6)$

Passaggio 2.2

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 2.3

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 2.4

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 2.5

Il fattore di $p + 2$ è $p + 2$ stesso.

$(p + 2) = p + 2$

$(p + 2)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.6

Il fattore di $p + 6$ è $p + 6$ stesso.

$(p + 6) = p + 6$

$(p + 6)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.7

Il fattore di $p + 2$ è $p + 2$ stesso.

$(p + 2) = p + 2$

$(p + 2)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.8

Il fattore di $p + 4$ è $p + 4$ stesso.

$(p + 4) = p + 4$

$(p + 4)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.9

Il fattore di $p + 6$ è $p + 6$ stesso.

$(p + 6) = p + 6$

$(p + 6)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.10

Il minimo comune multiplo di $p + 2, p + 6, p + 2, p + 4, p + 4, p + 6$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$(p + 2) (p + 6) (p + 4)$

Passaggio 3

Moltiplica per $(p + 2) (p + 6) (p + 4)$ ciascun termine in $\frac{p + 8}{(p + 2) (p + 6)} - \frac{11}{(p + 2) (p + 4)} = \frac{1}{(p + 4) (p + 6)}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{p + 8}{(p + 2) (p + 6)} - \frac{11}{(p + 2) (p + 4)} = \frac{1}{(p + 4) (p + 6)}$ per $(p + 2) (p + 6) (p + 4)$ .

$\frac{p + 8}{(p + 2) (p + 6)} ((p + 2) (p + 6) (p + 4)) - \frac{11}{(p + 2) (p + 4)} ((p + 2) (p + 6) (p + 4)) = \frac{1}{(p + 4) (p + 6)} ((p + 2) (p + 6) (p + 4))$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Elimina il fattore comune di $(p + 2) (p + 6)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{p + 8}{(p + 2) (p + 6)} ((p + 2) (p + 6) (p + 4)) - \frac{11}{(p + 2) (p + 4)} ((p + 2) (p + 6) (p + 4)) = \frac{1}{(p + 4) (p + 6)} ((p + 2) (p + 6) (p + 4))$

Passaggio 3.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$(p + 8) (p + 4) - \frac{11}{(p + 2) (p + 4)} ((p + 2) (p + 6) (p + 4)) = \frac{1}{(p + 4) (p + 6)} ((p + 2) (p + 6) (p + 4))$

Passaggio 3.2.1.2

Espandi $(p + 8) (p + 4)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (p + 4) + 8 (p + 4) - \frac{11}{(p + 2) (p + 4)} ((p + 2) (p + 6) (p + 4)) = \frac{1}{(p + 4) (p + 6)} ((p + 2) (p + 6) (p + 4))$

Passaggio 3.2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$p \cdot p + p \cdot 4 + 8 (p + 4) - \frac{11}{(p + 2) (p + 4)} ((p + 2) (p + 6) (p + 4)) = \frac{1}{(p + 4) (p + 6)} ((p + 2) (p + 6) (p + 4))$

Passaggio 3.2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$p \cdot p + p \cdot 4 + 8 p + 8 \cdot 4 - \frac{11}{(p + 2) (p + 4)} ((p + 2) (p + 6) (p + 4)) = \frac{1}{(p + 4) (p + 6)} ((p + 2) (p + 6) (p + 4))$

Passaggio 3.2.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.3.1.1

Moltiplica $p$ per $p$ .

$p^{2} + p \cdot 4 + 8 p + 8 \cdot 4 - \frac{11}{(p + 2) (p + 4)} ((p + 2) (p + 6) (p + 4)) = \frac{1}{(p + 4) (p + 6)} ((p + 2) (p + 6) (p + 4))$

Passaggio 3.2.1.3.1.2

Sposta $4$ alla sinistra di $p$ .

$p^{2} + 4 \cdot p + 8 p + 8 \cdot 4 - \frac{11}{(p + 2) (p + 4)} ((p + 2) (p + 6) (p + 4)) = \frac{1}{(p + 4) (p + 6)} ((p + 2) (p + 6) (p + 4))$

Passaggio 3.2.1.3.1.3

Moltiplica $8$ per $4$ .

$p^{2} + 4 p + 8 p + 32 - \frac{11}{(p + 2) (p + 4)} ((p + 2) (p + 6) (p + 4)) = \frac{1}{(p + 4) (p + 6)} ((p + 2) (p + 6) (p + 4))$

Passaggio 3.2.1.3.2

Somma $4 p$ e $8 p$ .

$p^{2} + 12 p + 32 - \frac{11}{(p + 2) (p + 4)} ((p + 2) (p + 6) (p + 4)) = \frac{1}{(p + 4) (p + 6)} ((p + 2) (p + 6) (p + 4))$

Passaggio 3.2.1.4

Elimina il fattore comune di $(p + 2) (p + 4)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{11}{(p + 2) (p + 4)}$ nel numeratore.

$p^{2} + 12 p + 32 + \frac{- 11}{(p + 2) (p + 4)} ((p + 2) (p + 6) (p + 4)) = \frac{1}{(p + 4) (p + 6)} ((p + 2) (p + 6) (p + 4))$

Passaggio 3.2.1.4.2

Scomponi $(p + 2) (p + 4)$ da $(p + 2) (p + 6) (p + 4)$ .

$p^{2} + 12 p + 32 + \frac{- 11}{(p + 2) (p + 4)} ((p + 2) (p + 4) (p + 6)) = \frac{1}{(p + 4) (p + 6)} ((p + 2) (p + 6) (p + 4))$

Passaggio 3.2.1.4.3

Elimina il fattore comune.

$p^{2} + 12 p + 32 + \frac{- 11}{(p + 2) (p + 4)} ((p + 2) (p + 4) (p + 6)) = \frac{1}{(p + 4) (p + 6)} ((p + 2) (p + 6) (p + 4))$

Passaggio 3.2.1.4.4

Riscrivi l'espressione.

$p^{2} + 12 p + 32 - 11 (p + 6) = \frac{1}{(p + 4) (p + 6)} ((p + 2) (p + 6) (p + 4))$

Passaggio 3.2.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$p^{2} + 12 p + 32 - 11 p - 11 \cdot 6 = \frac{1}{(p + 4) (p + 6)} ((p + 2) (p + 6) (p + 4))$

Passaggio 3.2.1.6

Moltiplica $- 11$ per $6$ .

$p^{2} + 12 p + 32 - 11 p - 66 = \frac{1}{(p + 4) (p + 6)} ((p + 2) (p + 6) (p + 4))$

Passaggio 3.2.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Sottrai $11 p$ da $12 p$ .

$p^{2} + p + 32 - 66 = \frac{1}{(p + 4) (p + 6)} ((p + 2) (p + 6) (p + 4))$

Passaggio 3.2.2.2

Sottrai $66$ da $32$ .

$p^{2} + p - 34 = \frac{1}{(p + 4) (p + 6)} ((p + 2) (p + 6) (p + 4))$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Elimina il fattore comune di $(p + 6) (p + 4)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Scomponi $(p + 6) (p + 4)$ da $(p + 4) (p + 6)$ .

$p^{2} + p - 34 = \frac{1}{(p + 6) (p + 4) (1)} ((p + 2) (p + 6) (p + 4))$

Passaggio 3.3.1.2

Scomponi $(p + 6) (p + 4)$ da $(p + 2) (p + 6) (p + 4)$ .

$p^{2} + p - 34 = \frac{1}{(p + 6) (p + 4) (1)} ((p + 6) (p + 4) (p + 2))$

Passaggio 3.3.1.3

Elimina il fattore comune.

$p^{2} + p - 34 = \frac{1}{(p + 6) (p + 4) \cdot 1} ((p + 6) (p + 4) (p + 2))$

Passaggio 3.3.1.4

Riscrivi l'espressione.

$p^{2} + p - 34 = p + 2$

Passaggio 4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sposta tutti i termini contenenti $p$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sottrai $p$ da entrambi i lati dell'equazione.

$p^{2} + p - 34 - p = 2$

Passaggio 4.1.2

Combina i termini opposti in $p^{2} + p - 34 - p$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Sottrai $p$ da $p$ .

$p^{2} + 0 - 34 = 2$

Passaggio 4.1.2.2

Somma $p^{2}$ e $0$ .

$p^{2} - 34 = 2$

Passaggio 4.2

Sposta tutti i termini non contenenti $p$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Somma $34$ a entrambi i lati dell'equazione.

$p^{2} = 2 + 34$

Passaggio 4.2.2

Somma $2$ e $34$ .

$p^{2} = 36$

Passaggio 4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$p = \pm \sqrt{36}$

Passaggio 4.4

Semplifica $\pm \sqrt{36}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Riscrivi $36$ come $6^{2}$ .

$p = \pm \sqrt{6^{2}}$

Passaggio 4.4.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$p = \pm 6$

Passaggio 4.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$p = 6$

Passaggio 4.5.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$p = - 6$

Passaggio 4.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$p = 6, - 6$

Passaggio 5

Escludi le soluzioni che non rendono $\frac{p + 8}{p^{2} + 8 p + 12} - \frac{11}{p^{2} + 6 p + 8} = \frac{1}{p^{2} + 10 p + 24}$ vera.

$p = 6$