Preparazione all'algebra Esempi

\frac{8}{t^{2} - 16} - \frac{1}{8} = \frac{1}{t - 4}

$\frac{8}{t^{2} - 16} - \frac{1}{8} = \frac{1}{t - 4}$

Passaggio 1

Somma

\frac{1}{8}

$\frac{1}{8}$ a entrambi i lati dell'equazione.

\frac{8}{t^{2} - 16} = \frac{1}{t - 4} + \frac{1}{8}

$\frac{8}{t^{2} - 16} = \frac{1}{t - 4} + \frac{1}{8}$

Passaggio 2

Scomponi ogni termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi

16

$16$ come

4^{2}

$4^{2}$ .

\frac{8}{t^{2} - 4^{2}} = \frac{1}{t - 4} + \frac{1}{8}

$\frac{8}{t^{2} - 4^{2}} = \frac{1}{t - 4} + \frac{1}{8}$

Passaggio 2.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati,

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove

a = t

$a = t$ e

b = 4

$b = 4$ .

\frac{8}{(t + 4) (t - 4)} = \frac{1}{t - 4} + \frac{1}{8}

$\frac{8}{(t + 4) (t - 4)} = \frac{1}{t - 4} + \frac{1}{8}$

\frac{8}{(t + 4) (t - 4)} = \frac{1}{t - 4} + \frac{1}{8}

$\frac{8}{(t + 4) (t - 4)} = \frac{1}{t - 4} + \frac{1}{8}$

Passaggio 3

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

(t + 4) (t - 4), t - 4, 8

$(t + 4) (t - 4), t - 4, 8$

Passaggio 3.2

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 3.3

Il numero

1

$1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 3.4

I fattori primi per

8

$8$ sono

2 \cdot 2 \cdot 2

$2 \cdot 2 \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

8

$8$ presenta fattori di

2

$2$ e

4

$4$ .

2 \cdot 4

$2 \cdot 4$

Passaggio 3.4.2

4

$4$ presenta fattori di

2

$2$ e

2

$2$ .

2 \cdot 2 \cdot 2

$2 \cdot 2 \cdot 2$

2 \cdot 2 \cdot 2

$2 \cdot 2 \cdot 2$

Passaggio 3.5

Moltiplica

2 \cdot 2 \cdot 2

$2 \cdot 2 \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Moltiplica

2

$2$ per

2

$2$ .

4 \cdot 2

$4 \cdot 2$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica

4

$4$ per

2

$2$ .

8

$8$

8

$8$

Passaggio 3.6

Il fattore di

t + 4

$t + 4$ è

t + 4

$t + 4$ stesso.

(t + 4) = t + 4

$(t + 4) = t + 4$

(t + 4)

$(t + 4)$ si verifica

1

$1$ volta.

Passaggio 3.7

Il fattore di

t - 4

$t - 4$ è

t - 4

$t - 4$ stesso.

(t - 4) = t - 4

$(t - 4) = t - 4$

(t - 4)

$(t - 4)$ si verifica

1

$1$ volta.

Passaggio 3.8

Il minimo comune multiplo di

t + 4, t - 4, t - 4

$t + 4, t - 4, t - 4$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

(t + 4) (t - 4)

$(t + 4) (t - 4)$

Passaggio 3.9

Il minimo comune multiplo

LCM

$LCM$ di alcuni numeri è il numero più piccolo di cui i numeri sono fattori.

8 (t + 4) (t - 4)

$8 (t + 4) (t - 4)$

8 (t + 4) (t - 4)

$8 (t + 4) (t - 4)$

Passaggio 4

Moltiplica per

8 (t + 4) (t - 4)

$8 (t + 4) (t - 4)$ ciascun termine in

\frac{8}{(t + 4) (t - 4)} = \frac{1}{t - 4} + \frac{1}{8}

$\frac{8}{(t + 4) (t - 4)} = \frac{1}{t - 4} + \frac{1}{8}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica ogni termine in

\frac{8}{(t + 4) (t - 4)} = \frac{1}{t - 4} + \frac{1}{8}

$\frac{8}{(t + 4) (t - 4)} = \frac{1}{t - 4} + \frac{1}{8}$ per

8 (t + 4) (t - 4)

$8 (t + 4) (t - 4)$ .

\frac{8}{(t + 4) (t - 4)} (8 (t + 4) (t - 4)) = \frac{1}{t - 4} (8 (t + 4) (t - 4)) + \frac{1}{8} (8 (t + 4) (t - 4))

$\frac{8}{(t + 4) (t - 4)} (8 (t + 4) (t - 4)) = \frac{1}{t - 4} (8 (t + 4) (t - 4)) + \frac{1}{8} (8 (t + 4) (t - 4))$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

8 \frac{8}{(t + 4) (t - 4)} ((t + 4) (t - 4)) = \frac{1}{t - 4} (8 (t + 4) (t - 4)) + \frac{1}{8} (8 (t + 4) (t - 4))

$8 \frac{8}{(t + 4) (t - 4)} ((t + 4) (t - 4)) = \frac{1}{t - 4} (8 (t + 4) (t - 4)) + \frac{1}{8} (8 (t + 4) (t - 4))$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica

8 \frac{8}{(t + 4) (t - 4)}

$8 \frac{8}{(t + 4) (t - 4)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

8

$8$ e

\frac{8}{(t + 4) (t - 4)}

$\frac{8}{(t + 4) (t - 4)}$ .

\frac{8 \cdot 8}{(t + 4) (t - 4)} ((t + 4) (t - 4)) = \frac{1}{t - 4} (8 (t + 4) (t - 4)) + \frac{1}{8} (8 (t + 4) (t - 4))

$\frac{8 \cdot 8}{(t + 4) (t - 4)} ((t + 4) (t - 4)) = \frac{1}{t - 4} (8 (t + 4) (t - 4)) + \frac{1}{8} (8 (t + 4) (t - 4))$

Passaggio 4.2.2.2

Moltiplica

8

$8$ per

8

$8$ .

\frac{64}{(t + 4) (t - 4)} ((t + 4) (t - 4)) = \frac{1}{t - 4} (8 (t + 4) (t - 4)) + \frac{1}{8} (8 (t + 4) (t - 4))

$\frac{64}{(t + 4) (t - 4)} ((t + 4) (t - 4)) = \frac{1}{t - 4} (8 (t + 4) (t - 4)) + \frac{1}{8} (8 (t + 4) (t - 4))$

\frac{64}{(t + 4) (t - 4)} ((t + 4) (t - 4)) = \frac{1}{t - 4} (8 (t + 4) (t - 4)) + \frac{1}{8} (8 (t + 4) (t - 4))

$\frac{64}{(t + 4) (t - 4)} ((t + 4) (t - 4)) = \frac{1}{t - 4} (8 (t + 4) (t - 4)) + \frac{1}{8} (8 (t + 4) (t - 4))$

Passaggio 4.2.3

Elimina il fattore comune di

$(t + 4) (t - 4)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{64}{(t + 4) (t - 4)} ((t + 4) (t - 4)) = \frac{1}{t - 4} (8 (t + 4) (t - 4)) + \frac{1}{8} (8 (t + 4) (t - 4))$

Passaggio 4.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$64 = \frac{1}{t - 4} (8 (t + 4) (t - 4)) + \frac{1}{8} (8 (t + 4) (t - 4))$

Passaggio 4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$64 = 8 \frac{1}{t - 4} ((t + 4) (t - 4)) + \frac{1}{8} (8 (t + 4) (t - 4))$

Passaggio 4.3.1.2

$8$ e

$\frac{1}{t - 4}$ .

$64 = \frac{8}{t - 4} ((t + 4) (t - 4)) + \frac{1}{8} (8 (t + 4) (t - 4))$

Passaggio 4.3.1.3

Elimina il fattore comune di

$t - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.3.1

Scomponi

$t - 4$ da

$(t + 4) (t - 4)$ .

$64 = \frac{8}{t - 4} ((t - 4) (t + 4)) + \frac{1}{8} (8 (t + 4) (t - 4))$

Passaggio 4.3.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$64 = \frac{8}{t - 4} ((t - 4) (t + 4)) + \frac{1}{8} (8 (t + 4) (t - 4))$

Passaggio 4.3.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$64 = 8 (t + 4) + \frac{1}{8} (8 (t + 4) (t - 4))$

Passaggio 4.3.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$64 = 8 t + 8 \cdot 4 + \frac{1}{8} (8 (t + 4) (t - 4))$

Passaggio 4.3.1.5

Moltiplica

$8$ per

$4$ .

$64 = 8 t + 32 + \frac{1}{8} (8 (t + 4) (t - 4))$

Passaggio 4.3.1.6

Elimina il fattore comune di

$8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.6.1

Scomponi

$8$ da

$8 (t + 4) (t - 4)$ .

$64 = 8 t + 32 + \frac{1}{8} (8 ((t + 4) (t - 4)))$

Passaggio 4.3.1.6.2

Elimina il fattore comune.

$64 = 8 t + 32 + \frac{1}{8} (8 ((t + 4) (t - 4)))$

Passaggio 4.3.1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$64 = 8 t + 32 + (t + 4) (t - 4)$

Passaggio 4.3.1.7

Espandi

$(t + 4) (t - 4)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$64 = 8 t + 32 + t (t - 4) + 4 (t - 4)$

Passaggio 4.3.1.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$64 = 8 t + 32 + t \cdot t + t \cdot - 4 + 4 (t - 4)$

Passaggio 4.3.1.7.3

Applica la proprietà distributiva.

$64 = 8 t + 32 + t \cdot t + t \cdot - 4 + 4 t + 4 \cdot - 4$

Passaggio 4.3.1.8

Combina i termini opposti in

$t \cdot t + t \cdot - 4 + 4 t + 4 \cdot - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.8.1

Riordina i fattori nei termini di

$t \cdot - 4$ e

$4 t$ .

$64 = 8 t + 32 + t \cdot t - 4 t + 4 t + 4 \cdot - 4$

Passaggio 4.3.1.8.2

Somma

$- 4 t$ e

$4 t$ .

$64 = 8 t + 32 + t \cdot t + 0 + 4 \cdot - 4$

Passaggio 4.3.1.8.3

Somma

$t \cdot t$ e

$0$ .

$64 = 8 t + 32 + t \cdot t + 4 \cdot - 4$

Passaggio 4.3.1.9

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.9.1

Moltiplica

$t$ per

$t$ .

$64 = 8 t + 32 + t^{2} + 4 \cdot - 4$

Passaggio 4.3.1.9.2

Moltiplica

$4$ per

$- 4$ .

$64 = 8 t + 32 + t^{2} - 16$

Passaggio 4.3.2

Sottrai

$16$ da

$32$ .

$64 = 8 t + t^{2} + 16$

Passaggio 5

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione come

$8 t + t^{2} + 16 = 64$ .

$8 t + t^{2} + 16 = 64$

Passaggio 5.2

Sottrai

$64$ da entrambi i lati dell'equazione.

$8 t + t^{2} + 16 - 64 = 0$

Passaggio 5.3

Sottrai

$64$ da

$16$ .

$8 t + t^{2} - 48 = 0$

Passaggio 5.4

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Sia

$u = t$ . Sostituisci tutte le occorrenze di

$t$ con

$u$ .

$8 u + u^{2} - 48 = 0$

Passaggio 5.4.2

Scomponi

$8 u + u^{2} - 48$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Considera la forma

$x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è

$c$ e la cui formula è

$b$ . In questo caso, il cui prodotto è

$- 48$ e la cui somma è

$8$ .

$- 4, 12$

Passaggio 5.4.2.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(u - 4) (u + 12) = 0$

Passaggio 5.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di

$u$ con

$t$ .

$(t - 4) (t + 12) = 0$

Passaggio 5.5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a

$0$ , l'intera espressione sarà uguale a

$0$ .

$t - 4 = 0$

$t + 12 = 0$

Passaggio 5.6

Imposta

$t - 4$ uguale a

$0$ e risolvi per

$t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Imposta

$t - 4$ uguale a

$0$ .

$t - 4 = 0$

Passaggio 5.6.2

Somma

$4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$t = 4$

Passaggio 5.7

Imposta

$t + 12$ uguale a

$0$ e risolvi per

$t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1

Imposta

$t + 12$ uguale a

$0$ .

$t + 12 = 0$

Passaggio 5.7.2

Sottrai

$12$ da entrambi i lati dell'equazione.

$t = - 12$

Passaggio 5.8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono

$(t - 4) (t + 12) = 0$ vera.

$t = 4, - 12$

Passaggio 6

Escludi le soluzioni che non rendono

$\frac{8}{t^{2} - 16} - \frac{1}{8} = \frac{1}{t - 4}$ vera.

$t = - 12$