Preparazione all'algebra Esempi

$w^{4} - w = 0$

Passaggio 1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 1.1

Scomponi $w$ da $w^{4} - w$ .

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Passaggio 1.1.1

Scomponi $w$ da $w^{4}$ .

$w \cdot w^{3} - w = 0$

Passaggio 1.1.2

Scomponi $w$ da $- w$ .

$w \cdot w^{3} + w \cdot - 1 = 0$

Passaggio 1.1.3

Scomponi $w$ da $w \cdot w^{3} + w \cdot - 1$ .

$w (w^{3} - 1) = 0$

Passaggio 1.2

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

$w (w^{3} - 1^{3}) = 0$

Passaggio 1.3

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = w$ e $b = 1$ .

$w ((w - 1) (w^{2} + w \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

Passaggio 1.4

Scomponi.

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Passaggio 1.4.1

Semplifica.

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Passaggio 1.4.1.1

Moltiplica $w$ per $1$ .

$w ((w - 1) (w^{2} + w + 1^{2})) = 0$

Passaggio 1.4.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$w ((w - 1) (w^{2} + w + 1)) = 0$

Passaggio 1.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$w (w - 1) (w^{2} + w + 1) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$w = 0$

$w - 1 = 0$

$w^{2} + w + 1 = 0$

Passaggio 3

Imposta $w$ uguale a $0$ .

$w = 0$

Passaggio 4

Imposta $w - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $w$ .

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Passaggio 4.1

Imposta $w - 1$ uguale a $0$ .

$w - 1 = 0$

Passaggio 4.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$w = 1$

Passaggio 5

Imposta $w^{2} + w + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $w$ .

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Passaggio 5.1

Imposta $w^{2} + w + 1$ uguale a $0$ .

$w^{2} + w + 1 = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi $w^{2} + w + 1 = 0$ per $w$ .

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Passaggio 5.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 5.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 1$ e $c = 1$ nella formula quadratica e risolvi per $w$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica.

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Passaggio 5.2.3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.2.3.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$w = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Passaggio 5.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$w = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$w = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.2.3.1.3

Sottrai $4$ da $1$ .

$w = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.2.3.1.4

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$w = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (3)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$w = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$w = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$w = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 5.2.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$w = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $w (w - 1) (w^{2} + w + 1) = 0$ vera.

$w = 0, 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$