Preparazione all'algebra Esempi

${(x - 1)}^{\frac{2}{3}} + {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - 6 = 0$

Passaggio 1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 1.1

Riscrivi ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ come ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2} + {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - 6 = 0$

Passaggio 1.2

Sia $u = {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ con $u$ .

$u^{2} + u - 6 = 0$

Passaggio 1.3

Scomponi $u^{2} + u - 6$ usando il metodo AC.

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Passaggio 1.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 6$ e la cui somma è $1$ .

$- 2, 3$

Passaggio 1.3.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(u - 2) (u + 3) = 0$

Passaggio 1.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$({(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - 2) ({(x - 1)}^{\frac{1}{3}} + 3) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

${(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - 2 = 0$

${(x - 1)}^{\frac{1}{3}} + 3 = 0$

Passaggio 3

Imposta ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Imposta ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - 2$ uguale a $0$ .

${(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - 2 = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - 2 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 3.2.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

${(x - 1)}^{\frac{1}{3}} = 2$

Passaggio 3.2.2

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $3$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 2^{3}$

Passaggio 3.2.3

Semplifica l'esponente.

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Passaggio 3.2.3.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.3.1.1

Semplifica ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Passaggio 3.2.3.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Passaggio 3.2.3.1.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 2^{3}$

Passaggio 3.2.3.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 3.2.3.1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 2^{3}$

Passaggio 3.2.3.1.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(x - 1)}^{1} = 2^{3}$

Passaggio 3.2.3.1.1.2

Semplifica.

$x - 1 = 2^{3}$

Passaggio 3.2.3.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.3.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$x - 1 = 8$

Passaggio 3.2.4

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.2.4.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 8 + 1$

Passaggio 3.2.4.2

Somma $8$ e $1$ .

$x = 9$

Passaggio 4

Imposta ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}} + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Imposta ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}} + 3$ uguale a $0$ .

${(x - 1)}^{\frac{1}{3}} + 3 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}} + 3 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 4.2.1

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

${(x - 1)}^{\frac{1}{3}} = - 3$

Passaggio 4.2.2

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $3$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 3)}^{3}$

Passaggio 4.2.3

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1.1

Semplifica ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Passaggio 4.2.3.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Passaggio 4.2.3.1.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 3)}^{3}$

Passaggio 4.2.3.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 4.2.3.1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 3)}^{3}$

Passaggio 4.2.3.1.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(x - 1)}^{1} = {(- 3)}^{3}$

Passaggio 4.2.3.1.1.2

Semplifica.

$x - 1 = {(- 3)}^{3}$

Passaggio 4.2.3.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.2.3.2.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $3$ .

$x - 1 = - 27$

Passaggio 4.2.4

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.2.4.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 27 + 1$

Passaggio 4.2.4.2

Somma $- 27$ e $1$ .

$x = - 26$

Passaggio 5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $({(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - 2) ({(x - 1)}^{\frac{1}{3}} + 3) = 0$ vera.

$x = 9, - 26$