Preparazione all'algebra Esempi

$\frac{1}{x + 9} + \frac{18}{x^{2} - 81} = 1$

Passaggio 1

Scomponi ogni termine.

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Passaggio 1.1

Riscrivi $81$ come $9^{2}$ .

$\frac{1}{x + 9} + \frac{18}{x^{2} - 9^{2}} = 1$

Passaggio 1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 9$ .

$\frac{1}{x + 9} + \frac{18}{(x + 9) (x - 9)} = 1$

Passaggio 2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

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Passaggio 2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$x + 9, (x + 9) (x - 9), 1$

Passaggio 2.2

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 2.3

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 2.4

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 2.5

Il fattore di $x + 9$ è $x + 9$ stesso.

$(x + 9) = x + 9$

$(x + 9)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.6

Il fattore di $x - 9$ è $x - 9$ stesso.

$(x - 9) = x - 9$

$(x - 9)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.7

Il minimo comune multiplo di $x + 9, x + 9, x - 9$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$(x + 9) (x - 9)$

Passaggio 3

Moltiplica per $(x + 9) (x - 9)$ ciascun termine in $\frac{1}{x + 9} + \frac{18}{(x + 9) (x - 9)} = 1$ per eliminare le frazioni.

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Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{1}{x + 9} + \frac{18}{(x + 9) (x - 9)} = 1$ per $(x + 9) (x - 9)$ .

$\frac{1}{x + 9} ((x + 9) (x - 9)) + \frac{18}{(x + 9) (x - 9)} ((x + 9) (x - 9)) = 1 ((x + 9) (x - 9))$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Elimina il fattore comune di $x + 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{x + 9} ((x + 9) (x - 9)) + \frac{18}{(x + 9) (x - 9)} ((x + 9) (x - 9)) = 1 ((x + 9) (x - 9))$

Passaggio 3.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x - 9 + \frac{18}{(x + 9) (x - 9)} ((x + 9) (x - 9)) = 1 ((x + 9) (x - 9))$

Passaggio 3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $(x + 9) (x - 9)$ .

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Passaggio 3.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x - 9 + \frac{18}{(x + 9) (x - 9)} ((x + 9) (x - 9)) = 1 ((x + 9) (x - 9))$

Passaggio 3.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x - 9 + 18 = 1 ((x + 9) (x - 9))$

Passaggio 3.2.2

Somma $- 9$ e $18$ .

$x + 9 = 1 ((x + 9) (x - 9))$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.3.1

Moltiplica $(x + 9) (x - 9)$ per $1$ .

$x + 9 = (x + 9) (x - 9)$

Passaggio 3.3.2

Espandi $(x + 9) (x - 9)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$x + 9 = x (x - 9) + 9 (x - 9)$

Passaggio 3.3.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$x + 9 = x \cdot x + x \cdot - 9 + 9 (x - 9)$

Passaggio 3.3.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$x + 9 = x \cdot x + x \cdot - 9 + 9 x + 9 \cdot - 9$

Passaggio 3.3.3

Semplifica i termini.

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Passaggio 3.3.3.1

Combina i termini opposti in $x \cdot x + x \cdot - 9 + 9 x + 9 \cdot - 9$ .

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Passaggio 3.3.3.1.1

Riordina i fattori nei termini di $x \cdot - 9$ e $9 x$ .

$x + 9 = x \cdot x - 9 x + 9 x + 9 \cdot - 9$

Passaggio 3.3.3.1.2

Somma $- 9 x$ e $9 x$ .

$x + 9 = x \cdot x + 0 + 9 \cdot - 9$

Passaggio 3.3.3.1.3

Somma $x \cdot x$ e $0$ .

$x + 9 = x \cdot x + 9 \cdot - 9$

Passaggio 3.3.3.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.3.3.2.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x + 9 = x^{2} + 9 \cdot - 9$

Passaggio 3.3.3.2.2

Moltiplica $9$ per $- 9$ .

$x + 9 = x^{2} - 81$

Passaggio 4

Risolvi l'equazione.

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Passaggio 4.1

Sottrai $x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x + 9 - x^{2} = - 81$

Passaggio 4.2

Somma $81$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x + 9 - x^{2} + 81 = 0$

Passaggio 4.3

Somma $9$ e $81$ .

$x - x^{2} + 90 = 0$

Passaggio 4.4

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 4.4.1

Scomponi $- 1$ da $x - x^{2} + 90$ .

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Passaggio 4.4.1.1

Riordina $x$ e $- x^{2}$ .

$- x^{2} + x + 90 = 0$

Passaggio 4.4.1.2

Scomponi $- 1$ da $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + x + 90 = 0$

Passaggio 4.4.1.3

Scomponi $- 1$ da $x$ .

$- (x^{2}) - 1 (- x) + 90 = 0$

Passaggio 4.4.1.4

Riscrivi $90$ come $- 1 (- 90)$ .

$- (x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 90 = 0$

Passaggio 4.4.1.5

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2}) - 1 (- x)$ .

$- (x^{2} - x) - 1 \cdot - 90 = 0$

Passaggio 4.4.1.6

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2} - x) - 1 (- 90)$ .

$- (x^{2} - x - 90) = 0$

Passaggio 4.4.2

Scomponi.

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Passaggio 4.4.2.1

Scomponi $x^{2} - x - 90$ usando il metodo AC.

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Passaggio 4.4.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 90$ e la cui somma è $- 1$ .

$- 10, 9$

Passaggio 4.4.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$- ((x - 10) (x + 9)) = 0$

Passaggio 4.4.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- (x - 10) (x + 9) = 0$

Passaggio 4.5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 10 = 0$

$x + 9 = 0$

Passaggio 4.6

Imposta $x - 10$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.6.1

Imposta $x - 10$ uguale a $0$ .

$x - 10 = 0$

Passaggio 4.6.2

Somma $10$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 10$

Passaggio 4.7

Imposta $x + 9$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.7.1

Imposta $x + 9$ uguale a $0$ .

$x + 9 = 0$

Passaggio 4.7.2

Sottrai $9$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 9$

Passaggio 4.8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- (x - 10) (x + 9) = 0$ vera.

$x = 10, - 9$

Passaggio 5

Escludi le soluzioni che non rendono $\frac{1}{x + 9} + \frac{18}{x^{2} - 81} = 1$ vera.

$x = 10$