Preparazione all'algebra Esempi

$\frac{100}{x^{2} - 25} + 1 = \frac{2 x}{x - 5}$

Passaggio 1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{100}{x^{2} - 25} = \frac{2 x}{x - 5} - 1$

Passaggio 2

Scomponi ogni termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$\frac{100}{x^{2} - 5^{2}} = \frac{2 x}{x - 5} - 1$

Passaggio 2.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 5$ .

$\frac{100}{(x + 5) (x - 5)} = \frac{2 x}{x - 5} - 1$

Passaggio 3

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

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Passaggio 3.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$(x + 5) (x - 5), x - 5, 1$

Passaggio 3.2

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 3.3

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 3.4

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 3.5

Il fattore di $x + 5$ è $x + 5$ stesso.

$(x + 5) = x + 5$

$(x + 5)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 3.6

Il fattore di $x - 5$ è $x - 5$ stesso.

$(x - 5) = x - 5$

$(x - 5)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 3.7

Il minimo comune multiplo di $x + 5, x - 5, x - 5$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$(x + 5) (x - 5)$

Passaggio 4

Moltiplica per $(x + 5) (x - 5)$ ciascun termine in $\frac{100}{(x + 5) (x - 5)} = \frac{2 x}{x - 5} - 1$ per eliminare le frazioni.

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Passaggio 4.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{100}{(x + 5) (x - 5)} = \frac{2 x}{x - 5} - 1$ per $(x + 5) (x - 5)$ .

$\frac{100}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (x - 5)) = \frac{2 x}{x - 5} ((x + 5) (x - 5)) - ((x + 5) (x - 5))$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.2.1

Elimina il fattore comune di $(x + 5) (x - 5)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{100}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (x - 5)) = \frac{2 x}{x - 5} ((x + 5) (x - 5)) - ((x + 5) (x - 5))$

Passaggio 4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$100 = \frac{2 x}{x - 5} ((x + 5) (x - 5)) - ((x + 5) (x - 5))$

Passaggio 4.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x - 5$ .

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Passaggio 4.3.1.1.1

Scomponi $x - 5$ da $(x + 5) (x - 5)$ .

$100 = \frac{2 x}{x - 5} ((x - 5) (x + 5)) - ((x + 5) (x - 5))$

Passaggio 4.3.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$100 = \frac{2 x}{x - 5} ((x - 5) (x + 5)) - ((x + 5) (x - 5))$

Passaggio 4.3.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$100 = 2 x (x + 5) - ((x + 5) (x - 5))$

Passaggio 4.3.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$100 = 2 x \cdot x + 2 x \cdot 5 - ((x + 5) (x - 5))$

Passaggio 4.3.1.3

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.3.1.3.1

Sposta $x$ .

$100 = 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 5 - ((x + 5) (x - 5))$

Passaggio 4.3.1.3.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$100 = 2 x^{2} + 2 x \cdot 5 - ((x + 5) (x - 5))$

Passaggio 4.3.1.4

Moltiplica $5$ per $2$ .

$100 = 2 x^{2} + 10 x - ((x + 5) (x - 5))$

Passaggio 4.3.1.5

Espandi $(x + 5) (x - 5)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.3.1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$100 = 2 x^{2} + 10 x - (x (x - 5) + 5 (x - 5))$

Passaggio 4.3.1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$100 = 2 x^{2} + 10 x - (x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 (x - 5))$

Passaggio 4.3.1.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$100 = 2 x^{2} + 10 x - (x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5)$

Passaggio 4.3.1.6

Combina i termini opposti in $x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5$ .

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Passaggio 4.3.1.6.1

Riordina i fattori nei termini di $x \cdot - 5$ e $5 x$ .

$100 = 2 x^{2} + 10 x - (x \cdot x - 5 x + 5 x + 5 \cdot - 5)$

Passaggio 4.3.1.6.2

Somma $- 5 x$ e $5 x$ .

$100 = 2 x^{2} + 10 x - (x \cdot x + 0 + 5 \cdot - 5)$

Passaggio 4.3.1.6.3

Somma $x \cdot x$ e $0$ .

$100 = 2 x^{2} + 10 x - (x \cdot x + 5 \cdot - 5)$

Passaggio 4.3.1.7

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.3.1.7.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$100 = 2 x^{2} + 10 x - (x^{2} + 5 \cdot - 5)$

Passaggio 4.3.1.7.2

Moltiplica $5$ per $- 5$ .

$100 = 2 x^{2} + 10 x - (x^{2} - 25)$

Passaggio 4.3.1.8

Applica la proprietà distributiva.

$100 = 2 x^{2} + 10 x - x^{2} - - 25$

Passaggio 4.3.1.9

Moltiplica $- 1$ per $- 25$ .

$100 = 2 x^{2} + 10 x - x^{2} + 25$

Passaggio 4.3.2

Sottrai $x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$100 = x^{2} + 10 x + 25$

Passaggio 5

Risolvi l'equazione.

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Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione come $x^{2} + 10 x + 25 = 100$ .

$x^{2} + 10 x + 25 = 100$

Passaggio 5.2

Sottrai $100$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} + 10 x + 25 - 100 = 0$

Passaggio 5.3

Sottrai $100$ da $25$ .

$x^{2} + 10 x - 75 = 0$

Passaggio 5.4

Scomponi $x^{2} + 10 x - 75$ usando il metodo AC.

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Passaggio 5.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 75$ e la cui somma è $10$ .

$- 5, 15$

Passaggio 5.4.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x - 5) (x + 15) = 0$

Passaggio 5.5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 15 = 0$

Passaggio 5.6

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.6.1

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ .

$x - 5 = 0$

Passaggio 5.6.2

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 5$

Passaggio 5.7

Imposta $x + 15$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.7.1

Imposta $x + 15$ uguale a $0$ .

$x + 15 = 0$

Passaggio 5.7.2

Sottrai $15$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 15$

Passaggio 5.8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 5) (x + 15) = 0$ vera.

$x = 5, - 15$

Passaggio 6

Escludi le soluzioni che non rendono $\frac{100}{x^{2} - 25} + 1 = \frac{2 x}{x - 5}$ vera.

$x = - 15$