Preparazione all'algebra Esempi

$\frac{s}{s^{2} + 6 s + 9} + \frac{5}{s^{2} + 4 s + 3}$

Passaggio 1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 1.1.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{s}{s^{2} + 6 s + 3^{2}} + \frac{5}{s^{2} + 4 s + 3}$

Passaggio 1.1.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$6 s = 2 \cdot s \cdot 3$

Passaggio 1.1.3

Riscrivi il polinomio.

$\frac{s}{s^{2} + 2 \cdot s \cdot 3 + 3^{2}} + \frac{5}{s^{2} + 4 s + 3}$

Passaggio 1.1.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = s$ e $b = 3$ .

$\frac{s}{{(s + 3)}^{2}} + \frac{5}{s^{2} + 4 s + 3}$

Passaggio 1.2

Scomponi $s^{2} + 4 s + 3$ usando il metodo AC.

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Passaggio 1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $3$ e la cui somma è $4$ .

$1, 3$

Passaggio 1.2.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$\frac{s}{{(s + 3)}^{2}} + \frac{5}{(s + 1) (s + 3)}$

Passaggio 2

Per scrivere $\frac{s}{{(s + 3)}^{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{s + 1}{s + 1}$ .

$\frac{s}{{(s + 3)}^{2}} \cdot \frac{s + 1}{s + 1} + \frac{5}{(s + 1) (s + 3)}$

Passaggio 3

Per scrivere $\frac{5}{(s + 1) (s + 3)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{s + 3}{s + 3}$ .

$\frac{s}{{(s + 3)}^{2}} \cdot \frac{s + 1}{s + 1} + \frac{5}{(s + 1) (s + 3)} \cdot \frac{s + 3}{s + 3}$

Passaggio 4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(s + 1) {(s + 3)}^{2}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 4.1

Moltiplica $\frac{s}{{(s + 3)}^{2}}$ per $\frac{s + 1}{s + 1}$ .

$\frac{s (s + 1)}{{(s + 3)}^{2} (s + 1)} + \frac{5}{(s + 1) (s + 3)} \cdot \frac{s + 3}{s + 3}$

Passaggio 4.2

Moltiplica $\frac{5}{(s + 1) (s + 3)}$ per $\frac{s + 3}{s + 3}$ .

$\frac{s (s + 1)}{{(s + 3)}^{2} (s + 1)} + \frac{5 (s + 3)}{(s + 1) (s + 3) (s + 3)}$

Passaggio 4.3

Eleva $s + 3$ alla potenza di $1$ .

$\frac{s (s + 1)}{{(s + 3)}^{2} (s + 1)} + \frac{5 (s + 3)}{(s + 1) ({(s + 3)}^{1} (s + 3))}$

Passaggio 4.4

Eleva $s + 3$ alla potenza di $1$ .

$\frac{s (s + 1)}{{(s + 3)}^{2} (s + 1)} + \frac{5 (s + 3)}{(s + 1) ({(s + 3)}^{1} {(s + 3)}^{1})}$

Passaggio 4.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{s (s + 1)}{{(s + 3)}^{2} (s + 1)} + \frac{5 (s + 3)}{(s + 1) {(s + 3)}^{1 + 1}}$

Passaggio 4.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{s (s + 1)}{{(s + 3)}^{2} (s + 1)} + \frac{5 (s + 3)}{(s + 1) {(s + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.7

Riordina i fattori di $(s + 1) {(s + 3)}^{2}$ .

$\frac{s (s + 1)}{{(s + 3)}^{2} (s + 1)} + \frac{5 (s + 3)}{{(s + 3)}^{2} (s + 1)}$

Passaggio 5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{s (s + 1) + 5 (s + 3)}{{(s + 3)}^{2} (s + 1)}$

Passaggio 6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{s \cdot s + s \cdot 1 + 5 (s + 3)}{{(s + 3)}^{2} (s + 1)}$

Passaggio 6.2

Moltiplica $s$ per $s$ .

$\frac{s^{2} + s \cdot 1 + 5 (s + 3)}{{(s + 3)}^{2} (s + 1)}$

Passaggio 6.3

Moltiplica $s$ per $1$ .

$\frac{s^{2} + s + 5 (s + 3)}{{(s + 3)}^{2} (s + 1)}$

Passaggio 6.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{s^{2} + s + 5 s + 5 \cdot 3}{{(s + 3)}^{2} (s + 1)}$

Passaggio 6.5

Moltiplica $5$ per $3$ .

$\frac{s^{2} + s + 5 s + 15}{{(s + 3)}^{2} (s + 1)}$

Passaggio 6.6

Somma $s$ e $5 s$ .

$\frac{s^{2} + 6 s + 15}{{(s + 3)}^{2} (s + 1)}$