Preparazione all'algebra Esempi

$\frac{t^{2} + 4 t + 3}{2 t^{2} - t - 10} \cdot \frac{t}{t^{2} + 3 t + 2} \cdot \frac{2 t^{2} + 4 t^{3}}{t^{2} + 3 t}$

Passaggio 1

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi $2 t^{2}$ da $2 t^{2} + 4 t^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Scomponi $2 t^{2}$ da $2 t^{2}$ .

$\frac{t^{2} + 4 t + 3}{2 t^{2} - t - 10} \cdot \frac{t}{t^{2} + 3 t + 2} \cdot \frac{2 t^{2} (1) + 4 t^{3}}{t^{2} + 3 t}$

Passaggio 1.1.2

Scomponi $2 t^{2}$ da $4 t^{3}$ .

$\frac{t^{2} + 4 t + 3}{2 t^{2} - t - 10} \cdot \frac{t}{t^{2} + 3 t + 2} \cdot \frac{2 t^{2} (1) + 2 t^{2} (2 t)}{t^{2} + 3 t}$

Passaggio 1.1.3

Scomponi $2 t^{2}$ da $2 t^{2} (1) + 2 t^{2} (2 t)$ .

$\frac{t^{2} + 4 t + 3}{2 t^{2} - t - 10} \cdot \frac{t}{t^{2} + 3 t + 2} \cdot \frac{2 t^{2} (1 + 2 t)}{t^{2} + 3 t}$

Passaggio 1.2

Scomponi $t$ da $t^{2} + 3 t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi $t$ da $t^{2}$ .

$\frac{t^{2} + 4 t + 3}{2 t^{2} - t - 10} \cdot \frac{t}{t^{2} + 3 t + 2} \cdot \frac{2 t^{2} (1 + 2 t)}{t \cdot t + 3 t}$

Passaggio 1.2.2

Scomponi $t$ da $3 t$ .

$\frac{t^{2} + 4 t + 3}{2 t^{2} - t - 10} \cdot \frac{t}{t^{2} + 3 t + 2} \cdot \frac{2 t^{2} (1 + 2 t)}{t \cdot t + t \cdot 3}$

Passaggio 1.2.3

Scomponi $t$ da $t \cdot t + t \cdot 3$ .

$\frac{t^{2} + 4 t + 3}{2 t^{2} - t - 10} \cdot \frac{t}{t^{2} + 3 t + 2} \cdot \frac{2 t^{2} (1 + 2 t)}{t (t + 3)}$

Passaggio 2

Scomponi $t^{2} + 4 t + 3$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $3$ e la cui somma è $4$ .

$1, 3$

Passaggio 2.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$\frac{(t + 1) (t + 3)}{2 t^{2} - t - 10} \cdot \frac{t}{t^{2} + 3 t + 2} \cdot \frac{2 t^{2} (1 + 2 t)}{t (t + 3)}$

Passaggio 3

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 3.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot - 10 = - 20$ e la cui somma è $b = - 1$ .

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Passaggio 3.1.1

Scomponi $- 1$ da $- t$ .

$\frac{(t + 1) (t + 3)}{2 t^{2} - (t) - 10} \cdot \frac{t}{t^{2} + 3 t + 2} \cdot \frac{2 t^{2} (1 + 2 t)}{t (t + 3)}$

Passaggio 3.1.2

Riscrivi $- 1$ come $4$ più $- 5$ .

$\frac{(t + 1) (t + 3)}{2 t^{2} + (4 - 5) t - 10} \cdot \frac{t}{t^{2} + 3 t + 2} \cdot \frac{2 t^{2} (1 + 2 t)}{t (t + 3)}$

Passaggio 3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(t + 1) (t + 3)}{2 t^{2} + 4 t - 5 t - 10} \cdot \frac{t}{t^{2} + 3 t + 2} \cdot \frac{2 t^{2} (1 + 2 t)}{t (t + 3)}$

Passaggio 3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 3.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{(t + 1) (t + 3)}{(2 t^{2} + 4 t) - 5 t - 10} \cdot \frac{t}{t^{2} + 3 t + 2} \cdot \frac{2 t^{2} (1 + 2 t)}{t (t + 3)}$

Passaggio 3.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{(t + 1) (t + 3)}{2 t (t + 2) - 5 (t + 2)} \cdot \frac{t}{t^{2} + 3 t + 2} \cdot \frac{2 t^{2} (1 + 2 t)}{t (t + 3)}$

Passaggio 3.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $t + 2$ .

$\frac{(t + 1) (t + 3)}{(t + 2) (2 t - 5)} \cdot \frac{t}{t^{2} + 3 t + 2} \cdot \frac{2 t^{2} (1 + 2 t)}{t (t + 3)}$

Passaggio 4

Scomponi $t^{2} + 3 t + 2$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $2$ e la cui somma è $3$ .

$1, 2$

Passaggio 4.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$\frac{(t + 1) (t + 3)}{(t + 2) (2 t - 5)} \cdot \frac{t}{(t + 1) (t + 2)} \cdot \frac{2 t^{2} (1 + 2 t)}{t (t + 3)}$

Passaggio 5

Semplifica i termini.

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Passaggio 5.1

Elimina il fattore comune di $t + 1$ .

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Passaggio 5.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(t + 1) (t + 3)}{(t + 2) (2 t - 5)} \cdot \frac{t}{(t + 1) (t + 2)} \cdot \frac{2 t^{2} (1 + 2 t)}{t (t + 3)}$

Passaggio 5.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{t + 3}{(t + 2) (2 t - 5)} \cdot \frac{t}{t + 2} \cdot \frac{2 t^{2} (1 + 2 t)}{t (t + 3)}$

Passaggio 5.2

Moltiplica $\frac{t + 3}{(t + 2) (2 t - 5)}$ per $\frac{t}{t + 2}$ .

$\frac{(t + 3) t}{(t + 2) (2 t - 5) (t + 2)} \cdot \frac{2 t^{2} (1 + 2 t)}{t (t + 3)}$

Passaggio 6

Eleva $t + 2$ alla potenza di $1$ .

$\frac{(t + 3) t}{{(t + 2)}^{1} (t + 2) (2 t - 5)} \cdot \frac{2 t^{2} (1 + 2 t)}{t (t + 3)}$

Passaggio 7

Eleva $t + 2$ alla potenza di $1$ .

$\frac{(t + 3) t}{{(t + 2)}^{1} {(t + 2)}^{1} (2 t - 5)} \cdot \frac{2 t^{2} (1 + 2 t)}{t (t + 3)}$

Passaggio 8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{(t + 3) t}{{(t + 2)}^{1 + 1} (2 t - 5)} \cdot \frac{2 t^{2} (1 + 2 t)}{t (t + 3)}$

Passaggio 9

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{(t + 3) t}{{(t + 2)}^{2} (2 t - 5)} \cdot \frac{2 t^{2} (1 + 2 t)}{t (t + 3)}$

Passaggio 10

Combina.

$\frac{(t + 3) t (2 t^{2} (1 + 2 t))}{{(t + 2)}^{2} (2 t - 5) (t (t + 3))}$

Passaggio 11

Moltiplica $t$ per $t^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sposta $t^{2}$ .

$\frac{(t + 3) (t^{2} t) (2 (1 + 2 t))}{{(t + 2)}^{2} (2 t - 5) (t (t + 3))}$

Passaggio 11.2

Moltiplica $t^{2}$ per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$\frac{(t + 3) (t^{2} t^{1}) (2 (1 + 2 t))}{{(t + 2)}^{2} (2 t - 5) (t (t + 3))}$

Passaggio 11.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{(t + 3) t^{2 + 1} (2 (1 + 2 t))}{{(t + 2)}^{2} (2 t - 5) (t (t + 3))}$

Passaggio 11.3

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{(t + 3) t^{3} (2 (1 + 2 t))}{{(t + 2)}^{2} (2 t - 5) (t (t + 3))}$

Passaggio 12

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Elimina il fattore comune di $t + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(t + 3) t^{3} (2 (1 + 2 t))}{{(t + 2)}^{2} (2 t - 5) (t (t + 3))}$

Passaggio 12.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{t^{3} (2 (1 + 2 t))}{{(t + 2)}^{2} (2 t - 5) (t)}$

Passaggio 12.2

Elimina il fattore comune di $t^{3}$ e $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Scomponi $t$ da $t^{3} (2 (1 + 2 t))$ .

$\frac{t (t^{2} (2 (1 + 2 t)))}{{(t + 2)}^{2} (2 t - 5) (t)}$

Passaggio 12.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.1

Scomponi $t$ da ${(t + 2)}^{2} (2 t - 5) (t)$ .

$\frac{t (t^{2} (2 (1 + 2 t)))}{t ({(t + 2)}^{2} (2 t - 5))}$

Passaggio 12.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{t (t^{2} (2 (1 + 2 t)))}{t ({(t + 2)}^{2} (2 t - 5))}$

Passaggio 12.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{t^{2} (2 (1 + 2 t))}{{(t + 2)}^{2} (2 t - 5)}$

Passaggio 13

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Riscrivi.

$\frac{(t + 3) t (2 t^{2} (1 + 2 t))}{{(t + 2)}^{2} (2 t - 5)}$

Passaggio 13.2

Moltiplica $t$ per $t^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Sposta $t^{2}$ .

$\frac{(t + 3) (t^{2} t) (2 (1 + 2 t))}{{(t + 2)}^{2} (2 t - 5)}$

Passaggio 13.2.2

Moltiplica $t^{2}$ per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.2.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$\frac{(t + 3) (t^{2} t^{1}) (2 (1 + 2 t))}{{(t + 2)}^{2} (2 t - 5)}$

Passaggio 13.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{(t + 3) t^{2 + 1} (2 (1 + 2 t))}{{(t + 2)}^{2} (2 t - 5)}$

Passaggio 13.2.3

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{(t + 3) t^{3} (2 (1 + 2 t))}{{(t + 2)}^{2} (2 t - 5)}$

Passaggio 13.3

Riscrivi.

$\frac{t^{2} t (2 (1 + 2 t))}{{(t + 2)}^{2} (2 t - 5)}$

Passaggio 13.4

Moltiplica $t^{2}$ per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$\frac{t^{2} t^{1} (2 (1 + 2 t))}{{(t + 2)}^{2} (2 t - 5)}$

Passaggio 13.4.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{t^{2 + 1} (2 (1 + 2 t))}{{(t + 2)}^{2} (2 t - 5)}$

Passaggio 13.5

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{t^{3} (2 (1 + 2 t))}{{(t + 2)}^{2} (2 t - 5)}$

Passaggio 13.6

Scomponi $t$ da $t^{3}$ .

$\frac{t \cdot t^{2} (2 (1 + 2 t))}{{(t + 2)}^{2} (2 t - 5)}$

Passaggio 13.7

Riscrivi.

$\frac{t^{2} (2 (1 + 2 t))}{{(t + 2)}^{2} (2 t - 5)}$

Passaggio 13.8

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$\frac{t^{2} \cdot 2 (1 + 2 t)}{{(t + 2)}^{2} (2 t - 5)}$

Passaggio 14

Sposta $2$ alla sinistra di $t^{2}$ .

$\frac{2 t^{2} (1 + 2 t)}{{(t + 2)}^{2} (2 t - 5)}$