Preparazione all'algebra Esempi

$3 x^{2} - 11 x > 20$

Passaggio 1

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$3 x^{2} - 11 x = 20$

Passaggio 2

Sottrai $20$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} - 11 x - 20 = 0$

Passaggio 3

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 3.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 3 \cdot - 20 = - 60$ e la cui somma è $b = - 11$ .

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Passaggio 3.1.1

Scomponi $- 11$ da $- 11 x$ .

$3 x^{2} - 11 x - 20 = 0$

Passaggio 3.1.2

Riscrivi $- 11$ come $4$ più $- 15$ .

$3 x^{2} + (4 - 15) x - 20 = 0$

Passaggio 3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{2} + 4 x - 15 x - 20 = 0$

Passaggio 3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 3.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(3 x^{2} + 4 x) - 15 x - 20 = 0$

Passaggio 3.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x (3 x + 4) - 5 (3 x + 4) = 0$

Passaggio 3.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $3 x + 4$ .

$(3 x + 4) (x - 5) = 0$

Passaggio 4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$3 x + 4 = 0$

$x - 5 = 0$

Passaggio 5

Imposta $3 x + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.1

Imposta $3 x + 4$ uguale a $0$ .

$3 x + 4 = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi $3 x + 4 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 5.2.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = - 4$

Passaggio 5.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 4$ e semplifica.

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Passaggio 5.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 4$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Passaggio 5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Passaggio 5.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 4}{3}$

Passaggio 5.2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{4}{3}$

Passaggio 6

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 6.1

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ .

$x - 5 = 0$

Passaggio 6.2

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 5$

Passaggio 7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(3 x + 4) (x - 5) = 0$ vera.

$x = - \frac{4}{3}, 5$

Passaggio 8

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - \frac{4}{3}$

$- \frac{4}{3} < x < 5$

$x > 5$

Passaggio 9

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 9.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - \frac{4}{3}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 9.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - \frac{4}{3}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 4$

Passaggio 9.1.2

Sostituisci $x$ con $- 4$ nella diseguaglianza originale.

$3 {(- 4)}^{2} - 11 \cdot - 4 > 20$

Passaggio 9.1.3

Il lato sinistro di $92$ è maggiore del lato destro di $20$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 9.2

Testa un valore sull'intervallo $- \frac{4}{3} < x < 5$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 9.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- \frac{4}{3} < x < 5$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 9.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$3 {(0)}^{2} - 11 \cdot 0 > 20$

Passaggio 9.2.3

Il lato sinistro di $0$ non è maggiore del lato destro di $20$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 9.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 5$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 9.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 5$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 8$

Passaggio 9.3.2

Sostituisci $x$ con $8$ nella diseguaglianza originale.

$3 {(8)}^{2} - 11 \cdot 8 > 20$

Passaggio 9.3.3

Il lato sinistro di $104$ è maggiore del lato destro di $20$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 9.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - \frac{4}{3}$ Vero

$- \frac{4}{3} < x < 5$ Falso

$x > 5$ Vero

$x < - \frac{4}{3}$ Vero

$- \frac{4}{3} < x < 5$ Falso

$x > 5$ Vero

Passaggio 10

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x < - \frac{4}{3}$ o $x > 5$

Passaggio 11

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$x < - \frac{4}{3} or x > 5$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - \frac{4}{3}) \cup (5, \infty)$

Passaggio 12