Preparazione all'algebra Esempi

$\ln (4 x) + 2 \ln (x) = 1.5$

Passaggio 1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (4 x) + 2 \ln (x) = 1.5$

Passaggio 2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica $\ln (4 x) + 2 \ln (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Semplifica $2 \ln (x)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\ln (4 x) + \ln (x^{2}) = 1.5$

Passaggio 2.1.2

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (4 x \cdot x^{2}) = 1.5$

Passaggio 2.1.3

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Sposta $x^{2}$ .

$\ln (4 (x^{2} x)) = 1.5$

Passaggio 2.1.3.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\ln (4 (x^{2} x^{1})) = 1.5$

Passaggio 2.1.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\ln (4 x^{2 + 1}) = 1.5$

Passaggio 2.1.3.3

Somma $2$ e $1$ .

$\ln (4 x^{3}) = 1.5$

Passaggio 3

Per risolvere per $x$ , riscrivi l'equazione utilizzando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (4 x^{3})} = e^{1.5}$

Passaggio 4

Riscrivi $\ln (4 x^{3}) = 1.5$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{1.5} = 4 x^{3}$

Passaggio 5

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione come $4 x^{3} = e^{1.5}$ .

$4 x^{3} = e^{1.5}$

Passaggio 5.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x^{3} = e^{1.5}$ e semplifica.

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Passaggio 5.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x^{3} = e^{1.5}$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{e^{1.5}}{4}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{e^{1.5}}{4}$

Passaggio 5.2.2.1.2

Dividi $x^{3}$ per $1$ .

$x^{3} = \frac{e^{1.5}}{4}$

Passaggio 5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{\frac{e^{1.5}}{4}}$

Passaggio 5.4

Semplifica $\sqrt[3]{\frac{e^{1.5}}{4}}$ .

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Passaggio 5.4.1

Riscrivi $\sqrt[3]{\frac{e^{1.5}}{4}}$ come $\frac{\sqrt[3]{e^{1.5}}}{\sqrt[3]{4}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}}}{\sqrt[3]{4}}$

Passaggio 5.4.2

Moltiplica $\frac{\sqrt[3]{e^{1.5}}}{\sqrt[3]{4}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Passaggio 5.4.3

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 5.4.3.1

Moltiplica $\frac{\sqrt[3]{e^{1.5}}}{\sqrt[3]{4}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Passaggio 5.4.3.2

Eleva $\sqrt[3]{4}$ alla potenza di $1$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Passaggio 5.4.3.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

Passaggio 5.4.3.4

Somma $1$ e $2$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

Passaggio 5.4.3.5

Riscrivi ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ come $4$ .

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Passaggio 5.4.3.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{4}$ come $4^{\frac{1}{3}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Passaggio 5.4.3.5.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Passaggio 5.4.3.5.3

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 5.4.3.5.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 5.4.3.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 5.4.3.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

Passaggio 5.4.3.5.5

Calcola l'esponente.

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Passaggio 5.4.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.4.4.1

Riscrivi ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ come $\sqrt[3]{4^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} \sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

Passaggio 5.4.4.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} \sqrt[3]{16}}{4}$

Passaggio 5.4.4.3

Riscrivi $16$ come $2^{3} \cdot 2$ .

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Passaggio 5.4.4.3.1

Scomponi $8$ da $16$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} \sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

Passaggio 5.4.4.3.2

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

Passaggio 5.4.4.4

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{4}$

Passaggio 5.4.4.5

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{e^{1.5} \cdot 2}}{4}$

Passaggio 5.4.5

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 5.4.5.1

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

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Passaggio 5.4.5.1.1

Scomponi $2$ da $2 \sqrt[3]{e^{1.5} \cdot 2}$ .

$x = \frac{2 (\sqrt[3]{e^{1.5} \cdot 2})}{4}$

Passaggio 5.4.5.1.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.4.5.1.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$x = \frac{2 \sqrt[3]{e^{1.5} \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 5.4.5.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{e^{1.5} \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 5.4.5.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5} \cdot 2}}{2}$

Passaggio 5.4.5.2

Riordina i fattori in $\frac{\sqrt[3]{e^{1.5} \cdot 2}}{2}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{2 e^{1.5}}}{2}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = \frac{\sqrt[3]{2 e^{1.5}}}{2}$

Forma decimale:

$x = 1.03862931 \dots$