Preparazione all'algebra Esempi

$\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{2} + 2 x - 24} > 0$

Passaggio 1

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$x^{2} - 2 x + 1 = 0$

$x^{2} + 2 x - 24 = 0$

Passaggio 2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 2.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$x^{2} - 2 x + 1^{2} = 0$

Passaggio 2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Passaggio 2.3

Riscrivi il polinomio.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Passaggio 2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 1$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Passaggio 3

Poni $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 4

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 5

Scomponi $x^{2} + 2 x - 24$ usando il metodo AC.

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Passaggio 5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 24$ e la cui somma è $2$ .

$- 4, 6$

Passaggio 5.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x - 4) (x + 6) = 0$

Passaggio 6

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 6 = 0$

Passaggio 7

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 7.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 7.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 8

Imposta $x + 6$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 8.1

Imposta $x + 6$ uguale a $0$ .

$x + 6 = 0$

Passaggio 8.2

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 6$

Passaggio 9

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 4) (x + 6) = 0$ vera.

$x = 4, - 6$

Passaggio 10

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = 1$

$x = 4, - 6$

Passaggio 11

Consolida le soluzioni.

$x = 1, 4, - 6$

Passaggio 12

Trova il dominio di $\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{2} + 2 x - 24}$ .

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Passaggio 12.1

Imposta il denominatore in $\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{2} + 2 x - 24}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{2} + 2 x - 24 = 0$

Passaggio 12.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 12.2.1

Scomponi $x^{2} + 2 x - 24$ usando il metodo AC.

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Passaggio 12.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 24$ e la cui somma è $2$ .

$- 4, 6$

Passaggio 12.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x - 4) (x + 6) = 0$

Passaggio 12.2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 6 = 0$

Passaggio 12.2.3

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 12.2.3.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 12.2.3.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 12.2.4

Imposta $x + 6$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 12.2.4.1

Imposta $x + 6$ uguale a $0$ .

$x + 6 = 0$

Passaggio 12.2.4.2

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 6$

Passaggio 12.2.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 4) (x + 6) = 0$ vera.

$x = 4, - 6$

Passaggio 12.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, 4) \cup (4, \infty)$

Passaggio 13

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 6$

$- 6 < x < 1$

$1 < x < 4$

$x > 4$

Passaggio 14

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 14.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 6$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 14.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 6$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 8$

Passaggio 14.1.2

Sostituisci $x$ con $- 8$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{{(- 8)}^{2} - 2 \cdot - 8 + 1}{{(- 8)}^{2} + 2 (- 8) - 24} > 0$

Passaggio 14.1.3

Il lato sinistro di $3.375$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 14.2

Testa un valore sull'intervallo $- 6 < x < 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 14.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 6 < x < 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 14.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{{(0)}^{2} - 2 \cdot 0 + 1}{{(0)}^{2} + 2 (0) - 24} > 0$

Passaggio 14.2.3

Il lato sinistro di $- 0.041\overline{6}$ non è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 14.3

Testa un valore sull'intervallo $1 < x < 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 14.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $1 < x < 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 2$

Passaggio 14.3.2

Sostituisci $x$ con $2$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{{(2)}^{2} - 2 \cdot 2 + 1}{{(2)}^{2} + 2 (2) - 24} > 0$

Passaggio 14.3.3

Il lato sinistro di $- 0.0625$ non è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 14.4

Testa un valore sull'intervallo $x > 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 14.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 6$

Passaggio 14.4.2

Sostituisci $x$ con $6$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{{(6)}^{2} - 2 \cdot 6 + 1}{{(6)}^{2} + 2 (6) - 24} > 0$

Passaggio 14.4.3

Il lato sinistro di $1.041\overline{6}$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 14.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 6$ Vero

$- 6 < x < 1$ Falso

$1 < x < 4$ Falso

$x > 4$ Vero

$x < - 6$ Vero

$- 6 < x < 1$ Falso

$1 < x < 4$ Falso

$x > 4$ Vero

Passaggio 15

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x < - 6$ o $x > 4$

Passaggio 16

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$x < - 6 or x > 4$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - 6) \cup (4, \infty)$

Passaggio 17