Preparazione all'algebra Esempi

$2^{2 x + 2} \cdot 3^{x + 1} = 14$

Passaggio 1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (2^{2 x + 2} \cdot 3^{x + 1}) = \ln (14)$

Passaggio 2

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 2.1

Riscrivi $\ln (2^{2 x + 2} \cdot 3^{x + 1})$ come $\ln (2^{2 x + 2}) + \ln (3^{x + 1})$ .

$\ln (2^{2 x + 2}) + \ln (3^{x + 1}) = \ln (14)$

Passaggio 2.2

Espandi $\ln (2^{2 x + 2})$ spostando $2 x + 2$ fuori dal logaritmo.

$(2 x + 2) \ln (2) + \ln (3^{x + 1}) = \ln (14)$

Passaggio 2.3

Espandi $\ln (3^{x + 1})$ spostando $x + 1$ fuori dal logaritmo.

$(2 x + 2) \ln (2) + (x + 1) \ln (3) = \ln (14)$

Passaggio 3

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 x \ln (2) + 2 \ln (2) + (x + 1) \ln (3) = \ln (14)$

Passaggio 3.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 x \ln (2) + 2 \ln (2) + x \ln (3) + 1 \ln (3) = \ln (14)$

Passaggio 3.1.3

Moltiplica $\ln (3)$ per $1$ .

$2 x \ln (2) + 2 \ln (2) + x \ln (3) + \ln (3) = \ln (14)$

Passaggio 4

Sposta $2 \ln (2)$ .

$2 x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) + \ln (3) = \ln (14)$

Passaggio 5

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$2 x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) + \ln (3) - \ln (14) = 0$

Passaggio 6

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) + \ln (\frac{3}{14}) = 0$

Passaggio 7

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 7.1

Sottrai $2 \ln (2)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x \ln (2) + x \ln (3) + \ln (\frac{3}{14}) = - 2 \ln (2)$

Passaggio 7.2

Sottrai $\ln (\frac{3}{14})$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x \ln (2) + x \ln (3) = - 2 \ln (2) - \ln (\frac{3}{14})$

Passaggio 8

Scomponi $x$ da $2 x \ln (2) + x \ln (3)$ .

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Passaggio 8.1

Scomponi $x$ da $2 x \ln (2)$ .

$x (2 \ln (2)) + x \ln (3) = - 2 \ln (2) - \ln (\frac{3}{14})$

Passaggio 8.2

Scomponi $x$ da $x \ln (3)$ .

$x (2 \ln (2)) + x (\ln (3)) = - 2 \ln (2) - \ln (\frac{3}{14})$

Passaggio 8.3

Scomponi $x$ da $x (2 \ln (2)) + x (\ln (3))$ .

$x (2 \ln (2) + \ln (3)) = - 2 \ln (2) - \ln (\frac{3}{14})$

Passaggio 9

Dividi per $2 \ln (2) + \ln (3)$ ciascun termine in $x (2 \ln (2) + \ln (3)) = - 2 \ln (2) - \ln (\frac{3}{14})$ e semplifica.

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Passaggio 9.1

Dividi per $2 \ln (2) + \ln (3)$ ciascun termine in $x (2 \ln (2) + \ln (3)) = - 2 \ln (2) - \ln (\frac{3}{14})$ .

$\frac{x (2 \ln (2) + \ln (3))}{2 \ln (2) + \ln (3)} = \frac{- 2 \ln (2)}{2 \ln (2) + \ln (3)} + \frac{- \ln (\frac{3}{14})}{2 \ln (2) + \ln (3)}$

Passaggio 9.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 9.2.1

Elimina il fattore comune di $2 \ln (2) + \ln (3)$ .

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Passaggio 9.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (2 \ln (2) + \ln (3))}{2 \ln (2) + \ln (3)} = \frac{- 2 \ln (2)}{2 \ln (2) + \ln (3)} + \frac{- \ln (\frac{3}{14})}{2 \ln (2) + \ln (3)}$

Passaggio 9.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 \ln (2)}{2 \ln (2) + \ln (3)} + \frac{- \ln (\frac{3}{14})}{2 \ln (2) + \ln (3)}$

Passaggio 9.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 9.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 9.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{2 \ln (2)}{2 \ln (2) + \ln (3)} + \frac{- \ln (\frac{3}{14})}{2 \ln (2) + \ln (3)}$

Passaggio 9.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{2 \ln (2)}{2 \ln (2) + \ln (3)} - \frac{\ln (\frac{3}{14})}{2 \ln (2) + \ln (3)}$

Passaggio 9.3.2

Semplifica i termini.

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Passaggio 9.3.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{- 2 \ln (2) - \ln (\frac{3}{14})}{2 \ln (2) + \ln (3)}$

Passaggio 9.3.2.2

Scomponi $- 1$ da $- 2 \ln (2)$ .

$x = \frac{- (2 \ln (2)) - \ln (\frac{3}{14})}{2 \ln (2) + \ln (3)}$

Passaggio 9.3.2.3

Scomponi $- 1$ da $- \ln (\frac{3}{14})$ .

$x = \frac{- (2 \ln (2)) - \ln (\frac{3}{14})}{2 \ln (2) + \ln (3)}$

Passaggio 9.3.2.4

Scomponi $- 1$ da $- (2 \ln (2)) - \ln (\frac{3}{14})$ .

$x = \frac{- (2 \ln (2) + \ln (\frac{3}{14}))}{2 \ln (2) + \ln (3)}$

Passaggio 9.3.2.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 9.3.2.5.1

Riscrivi $- (2 \ln (2) + \ln (\frac{3}{14}))$ come $- 1 (2 \ln (2) + \ln (\frac{3}{14}))$ .

$x = \frac{- 1 (2 \ln (2) + \ln (\frac{3}{14}))}{2 \ln (2) + \ln (3)}$

Passaggio 9.3.2.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{2 \ln (2) + \ln (\frac{3}{14})}{2 \ln (2) + \ln (3)}$

Passaggio 10

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = - \frac{2 \ln (2) + \ln (\frac{3}{14})}{2 \ln (2) + \ln (3)}$

Forma decimale:

$x = 0.06203479 \dots$