Preparazione all'algebra Esempi

$2^{2 x} - 2^{x - 1} - 2^{2} + 2 < 0$

Passaggio 1

Riscrivi $2^{x - 1}$ come $2^{x} \cdot 2^{- 1}$ .

$2^{2 x} - (2^{x} \cdot 2^{- 1}) - 2^{2} + 2 = 0$

Passaggio 2

Riscrivi $2^{2 x}$ come un elevamento a potenza.

${(2^{x})}^{2} - (2^{x} \cdot 2^{- 1}) - 2^{2} + 2 = 0$

Passaggio 3

Rimuovi le parentesi.

${(2^{x})}^{2} - 2^{x} \cdot 2^{- 1} - 2^{2} + 2 = 0$

Passaggio 4

Sostituisci $u$ a $2^{x}$ .

$u^{2} - u \cdot 2^{- 1} - 2^{2} + 2 = 0$

Passaggio 5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u^{2} - u \cdot \frac{1}{2} - 2^{2} + 2 = 0$

Passaggio 5.2

$\frac{1}{2}$ e $u$ .

$u^{2} - \frac{u}{2} - 2^{2} + 2 = 0$

Passaggio 5.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$u^{2} - \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 + 2 = 0$

Passaggio 5.4

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$u^{2} - \frac{u}{2} - 4 + 2 = 0$

Passaggio 6

Somma $- 4$ e $2$ .

$u^{2} - \frac{u}{2} - 2 = 0$

Passaggio 7

Risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica per il minimo comune denominatore $2$ , quindi semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 u^{2} + 2 (- \frac{u}{2}) + 2 \cdot - 2 = 0$

Passaggio 7.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{u}{2}$ nel numeratore.

$2 u^{2} + 2 (\frac{- u}{2}) + 2 \cdot - 2 = 0$

Passaggio 7.1.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$2 u^{2} + 2 (\frac{- u}{2}) + 2 \cdot - 2 = 0$

Passaggio 7.1.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$2 u^{2} - u + 2 \cdot - 2 = 0$

Passaggio 7.1.2.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$2 u^{2} - u - 4 = 0$

Passaggio 7.2

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 7.3

Sostituisci i valori $a = 2$ , $b = - 1$ e $c = - 4$ nella formula quadratica e risolvi per $u$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 4)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.4.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot - 4}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 2 \cdot - 4$ .

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Passaggio 7.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot - 4}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7.4.1.2.2

Moltiplica $- 8$ per $- 4$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 32}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7.4.1.3

Somma $1$ e $32$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7.4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{4}$

Passaggio 7.5

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$u = \frac{1 + \sqrt{33}}{4}, \frac{1 - \sqrt{33}}{4}$

Passaggio 8

Sostituisci $\frac{1 + \sqrt{33}}{4}$ a $u$ in $u = 2^{x}$ .

$\frac{1 + \sqrt{33}}{4} = 2^{x}$

Passaggio 9

Risolvi $\frac{1 + \sqrt{33}}{4} = 2^{x}$ .

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Passaggio 9.1

Riscrivi l'equazione come $2^{x} = \frac{1 + \sqrt{33}}{4}$ .

$2^{x} = \frac{1 + \sqrt{33}}{4}$

Passaggio 9.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (2^{x}) = \ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})$

Passaggio 9.3

Espandi $\ln (2^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$x \ln (2) = \ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})$

Passaggio 9.4

Dividi per $\ln (2)$ ciascun termine in $x \ln (2) = \ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})$ e semplifica.

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Passaggio 9.4.1

Dividi per $\ln (2)$ ciascun termine in $x \ln (2) = \ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})$ .

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})}{\ln (2)}$

Passaggio 9.4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 9.4.2.1

Elimina il fattore comune di $\ln (2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})}{\ln (2)}$

Passaggio 9.4.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})}{\ln (2)}$

Passaggio 10

Sostituisci $\frac{1 - \sqrt{33}}{4}$ a $u$ in $u = 2^{x}$ .

$\frac{1 - \sqrt{33}}{4} = 2^{x}$

Passaggio 11

Risolvi $\frac{1 - \sqrt{33}}{4} = 2^{x}$ .

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Passaggio 11.1

Riscrivi l'equazione come $2^{x} = \frac{1 - \sqrt{33}}{4}$ .

$2^{x} = \frac{1 - \sqrt{33}}{4}$

Passaggio 11.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (2^{x}) = \ln (\frac{1 - \sqrt{33}}{4})$

Passaggio 11.3

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (\frac{1 - \sqrt{33}}{4})$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 11.4

Non c'è soluzione per $2^{x} = \frac{1 - \sqrt{33}}{4}$

Nessuna soluzione

Passaggio 12

Elenca le soluzioni che rendono vera l'equazione.

$x = \frac{\ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})}{\ln (2)}$

Passaggio 13

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x < \frac{\ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})}{\ln (2)}$

Passaggio 14

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$x < \frac{\ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})}{\ln (2)}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \frac{\ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})}{\ln (2)})$

Passaggio 15