Preparazione all'algebra Esempi

$\frac{x}{x + 1} + \frac{1}{3} = \frac{13}{10 x + 17}$

Passaggio 1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$x + 1, 3, 10 x + 17$

Passaggio 1.2

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 1.3

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 1.4

Poiché $3$ non presenta fattori eccetto $1$ e $3$ .

$3$ è un numero primo

Passaggio 1.5

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 1.6

Il minimo comune multiplo di $1, 3, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$3$

Passaggio 1.7

Il fattore di $x + 1$ è $x + 1$ stesso.

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 1.8

Il fattore di $10 x + 17$ è $10 x + 17$ stesso.

$(10 x + 17) = 10 x + 17$

$(10 x + 17)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 1.9

Il minimo comune multiplo di $x + 1, 10 x + 17$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$(x + 1) (10 x + 17)$

Passaggio 1.10

Il minimo comune multiplo $LCM$ di alcuni numeri è il numero più piccolo di cui i numeri sono fattori.

$3 (x + 1) (10 x + 17)$

Passaggio 2

Moltiplica per $3 (x + 1) (10 x + 17)$ ciascun termine in $\frac{x}{x + 1} + \frac{1}{3} = \frac{13}{10 x + 17}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{x}{x + 1} + \frac{1}{3} = \frac{13}{10 x + 17}$ per $3 (x + 1) (10 x + 17)$ .

$\frac{x}{x + 1} (3 (x + 1) (10 x + 17)) + \frac{1}{3} (3 (x + 1) (10 x + 17)) = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$3 \frac{x}{x + 1} ((x + 1) (10 x + 17)) + \frac{1}{3} (3 (x + 1) (10 x + 17)) = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Passaggio 2.2.1.2

$3$ e $\frac{x}{x + 1}$ .

$\frac{3 x}{x + 1} ((x + 1) (10 x + 17)) + \frac{1}{3} (3 (x + 1) (10 x + 17)) = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Passaggio 2.2.1.3

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{x + 1} ((x + 1) (10 x + 17)) + \frac{1}{3} (3 (x + 1) (10 x + 17)) = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Passaggio 2.2.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$3 x (10 x + 17) + \frac{1}{3} (3 (x + 1) (10 x + 17)) = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Passaggio 2.2.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$3 x (10 x) + 3 x \cdot 17 + \frac{1}{3} (3 (x + 1) (10 x + 17)) = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Passaggio 2.2.1.5

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$3 \cdot 10 x \cdot x + 3 x \cdot 17 + \frac{1}{3} (3 (x + 1) (10 x + 17)) = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Passaggio 2.2.1.6

Moltiplica $17$ per $3$ .

$3 \cdot 10 x \cdot x + 51 x + \frac{1}{3} (3 (x + 1) (10 x + 17)) = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Passaggio 2.2.1.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.7.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.7.1.1

Sposta $x$ .

$3 \cdot 10 (x \cdot x) + 51 x + \frac{1}{3} (3 (x + 1) (10 x + 17)) = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Passaggio 2.2.1.7.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$3 \cdot 10 x^{2} + 51 x + \frac{1}{3} (3 (x + 1) (10 x + 17)) = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Passaggio 2.2.1.7.2

Moltiplica $3$ per $10$ .

$30 x^{2} + 51 x + \frac{1}{3} (3 (x + 1) (10 x + 17)) = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Passaggio 2.2.1.8

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.8.1

Scomponi $3$ da $3 (x + 1) (10 x + 17)$ .

$30 x^{2} + 51 x + \frac{1}{3} (3 ((x + 1) (10 x + 17))) = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Passaggio 2.2.1.8.2

Elimina il fattore comune.

$30 x^{2} + 51 x + \frac{1}{3} (3 ((x + 1) (10 x + 17))) = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Passaggio 2.2.1.8.3

Riscrivi l'espressione.

$30 x^{2} + 51 x + (x + 1) (10 x + 17) = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Passaggio 2.2.1.9

Espandi $(x + 1) (10 x + 17)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.9.1

Applica la proprietà distributiva.

$30 x^{2} + 51 x + x (10 x + 17) + 1 (10 x + 17) = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Passaggio 2.2.1.9.2

Applica la proprietà distributiva.

$30 x^{2} + 51 x + x (10 x) + x \cdot 17 + 1 (10 x + 17) = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Passaggio 2.2.1.9.3

Applica la proprietà distributiva.

$30 x^{2} + 51 x + x (10 x) + x \cdot 17 + 1 (10 x) + 1 \cdot 17 = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Passaggio 2.2.1.10

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.10.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.10.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$30 x^{2} + 51 x + 10 x \cdot x + x \cdot 17 + 1 (10 x) + 1 \cdot 17 = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Passaggio 2.2.1.10.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.10.1.2.1

Sposta $x$ .

$30 x^{2} + 51 x + 10 (x \cdot x) + x \cdot 17 + 1 (10 x) + 1 \cdot 17 = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Passaggio 2.2.1.10.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$30 x^{2} + 51 x + 10 x^{2} + x \cdot 17 + 1 (10 x) + 1 \cdot 17 = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Passaggio 2.2.1.10.1.3

Sposta $17$ alla sinistra di $x$ .

$30 x^{2} + 51 x + 10 x^{2} + 17 \cdot x + 1 (10 x) + 1 \cdot 17 = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Passaggio 2.2.1.10.1.4

Moltiplica $10 x$ per $1$ .

$30 x^{2} + 51 x + 10 x^{2} + 17 x + 10 x + 1 \cdot 17 = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Passaggio 2.2.1.10.1.5

Moltiplica $17$ per $1$ .

$30 x^{2} + 51 x + 10 x^{2} + 17 x + 10 x + 17 = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Passaggio 2.2.1.10.2

Somma $17 x$ e $10 x$ .

$30 x^{2} + 51 x + 10 x^{2} + 27 x + 17 = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Passaggio 2.2.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Somma $30 x^{2}$ e $10 x^{2}$ .

$40 x^{2} + 51 x + 27 x + 17 = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Passaggio 2.2.2.2

Somma $51 x$ e $27 x$ .

$40 x^{2} + 78 x + 17 = \frac{13}{10 x + 17} (3 (x + 1) (10 x + 17))$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$40 x^{2} + 78 x + 17 = 3 \frac{13}{10 x + 17} ((x + 1) (10 x + 17))$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $3 \frac{13}{10 x + 17}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

$3$ e $\frac{13}{10 x + 17}$ .

$40 x^{2} + 78 x + 17 = \frac{3 \cdot 13}{10 x + 17} ((x + 1) (10 x + 17))$

Passaggio 2.3.2.2

Moltiplica $3$ per $13$ .

$40 x^{2} + 78 x + 17 = \frac{39}{10 x + 17} ((x + 1) (10 x + 17))$

Passaggio 2.3.3

Elimina il fattore comune di $10 x + 17$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Scomponi $10 x + 17$ da $(x + 1) (10 x + 17)$ .

$40 x^{2} + 78 x + 17 = \frac{39}{10 x + 17} ((10 x + 17) (x + 1))$

Passaggio 2.3.3.2

Elimina il fattore comune.

$40 x^{2} + 78 x + 17 = \frac{39}{10 x + 17} ((10 x + 17) (x + 1))$

Passaggio 2.3.3.3

Riscrivi l'espressione.

$40 x^{2} + 78 x + 17 = 39 (x + 1)$

Passaggio 2.3.4

Applica la proprietà distributiva.

$40 x^{2} + 78 x + 17 = 39 x + 39 \cdot 1$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $39$ per $1$ .

$40 x^{2} + 78 x + 17 = 39 x + 39$

Passaggio 3

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sottrai $39 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$40 x^{2} + 78 x + 17 - 39 x = 39$

Passaggio 3.1.2

Sottrai $39 x$ da $78 x$ .

$40 x^{2} + 39 x + 17 = 39$

Passaggio 3.2

Sottrai $39$ da entrambi i lati dell'equazione.

$40 x^{2} + 39 x + 17 - 39 = 0$

Passaggio 3.3

Sottrai $39$ da $17$ .

$40 x^{2} + 39 x - 22 = 0$

Passaggio 3.4

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 40 \cdot - 22 = - 880$ e la cui somma è $b = 39$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1

Scomponi $39$ da $39 x$ .

$40 x^{2} + 39 (x) - 22 = 0$

Passaggio 3.4.1.2

Riscrivi $39$ come $- 16$ più $55$ .

$40 x^{2} + (- 16 + 55) x - 22 = 0$

Passaggio 3.4.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$40 x^{2} - 16 x + 55 x - 22 = 0$

Passaggio 3.4.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(40 x^{2} - 16 x) + 55 x - 22 = 0$

Passaggio 3.4.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$8 x (5 x - 2) + 11 (5 x - 2) = 0$

Passaggio 3.4.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $5 x - 2$ .

$(5 x - 2) (8 x + 11) = 0$

Passaggio 3.5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$5 x - 2 = 0$

$8 x + 11 = 0$

Passaggio 3.6

Imposta $5 x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Imposta $5 x - 2$ uguale a $0$ .

$5 x - 2 = 0$

Passaggio 3.6.2

Risolvi $5 x - 2 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$5 x = 2$

Passaggio 3.6.2.2

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 x = 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.2.1

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 x = 2$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

Passaggio 3.6.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

Passaggio 3.6.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{2}{5}$

Passaggio 3.7

Imposta $8 x + 11$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Imposta $8 x + 11$ uguale a $0$ .

$8 x + 11 = 0$

Passaggio 3.7.2

Risolvi $8 x + 11 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.1

Sottrai $11$ da entrambi i lati dell'equazione.

$8 x = - 11$

Passaggio 3.7.2.2

Dividi per $8$ ciascun termine in $8 x = - 11$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.2.1

Dividi per $8$ ciascun termine in $8 x = - 11$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 11}{8}$

Passaggio 3.7.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 11}{8}$

Passaggio 3.7.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 11}{8}$

Passaggio 3.7.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{11}{8}$

Passaggio 3.8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(5 x - 2) (8 x + 11) = 0$ vera.

$x = \frac{2}{5}, - \frac{11}{8}$

Passaggio 4

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = \frac{2}{5}, - \frac{11}{8}$

Forma decimale:

$x = 0.4, - 1.375$

Forma numero misto:

$x = \frac{2}{5}, - 1 \frac{3}{8}$