Preparazione all'algebra Esempi

$x^{3} - 9 x < 0$

Passaggio 1

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$x^{3} - 9 x = 0$

Passaggio 2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Scomponi $x$ da $x^{3} - 9 x$ .

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Passaggio 2.1.1

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 9 x = 0$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $x$ da $- 9 x$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 9 = 0$

Passaggio 2.1.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x^{2} + x \cdot - 9$ .

$x (x^{2} - 9) = 0$

Passaggio 2.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$x (x^{2} - 3^{2}) = 0$

Passaggio 2.3

Scomponi.

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Passaggio 2.3.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 3$ .

$x ((x + 3) (x - 3)) = 0$

Passaggio 2.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$x (x + 3) (x - 3) = 0$

Passaggio 3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Passaggio 4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 5

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.1

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 5.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 6

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 6.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 6.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x (x + 3) (x - 3) = 0$ vera.

$x = 0, - 3, 3$

Passaggio 8

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 3$

$- 3 < x < 0$

$0 < x < 3$

$x > 3$

Passaggio 9

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 9.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 9.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 6$

Passaggio 9.1.2

Sostituisci $x$ con $- 6$ nella diseguaglianza originale.

${(- 6)}^{3} - 9 \cdot - 6 < 0$

Passaggio 9.1.3

Il lato sinistro di $- 162$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 9.2

Testa un valore sull'intervallo $- 3 < x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 9.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 3 < x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 2$

Passaggio 9.2.2

Sostituisci $x$ con $- 2$ nella diseguaglianza originale.

${(- 2)}^{3} - 9 \cdot - 2 < 0$

Passaggio 9.2.3

Il lato sinistro di $10$ non è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 9.3

Testa un valore sull'intervallo $0 < x < 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 9.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < x < 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 2$

Passaggio 9.3.2

Sostituisci $x$ con $2$ nella diseguaglianza originale.

${(2)}^{3} - 9 \cdot 2 < 0$

Passaggio 9.3.3

Il lato sinistro di $- 10$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 9.4

Testa un valore sull'intervallo $x > 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 9.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 6$

Passaggio 9.4.2

Sostituisci $x$ con $6$ nella diseguaglianza originale.

${(6)}^{3} - 9 \cdot 6 < 0$

Passaggio 9.4.3

Il lato sinistro di $162$ non è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 9.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 3$ Vero

$- 3 < x < 0$ Falso

$0 < x < 3$ Vero

$x > 3$ Falso

$x < - 3$ Vero

$- 3 < x < 0$ Falso

$0 < x < 3$ Vero

$x > 3$ Falso

Passaggio 10

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x < - 3$ o $0 < x < 3$

Passaggio 11

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$x < - 3 or 0 < x < 3$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - 3) \cup (0, 3)$

Passaggio 12