Preparazione all'algebra Esempi

$\frac{x}{x^{2} - 1} + \frac{5 x}{x - x^{2}}$

Passaggio 1

Per scrivere $\frac{x}{x^{2} - 1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x - x^{2}}{x - x^{2}}$ .

$\frac{x}{x^{2} - 1} \cdot \frac{x - x^{2}}{x - x^{2}} + \frac{5 x}{x - x^{2}}$

Passaggio 2

Per scrivere $\frac{5 x}{x - x^{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$ .

$\frac{x}{x^{2} - 1} \cdot \frac{x - x^{2}}{x - x^{2}} + \frac{5 x}{x - x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$

Passaggio 3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(x^{2} - 1) (x - x^{2})$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica $\frac{x}{x^{2} - 1}$ per $\frac{x - x^{2}}{x - x^{2}}$ .

$\frac{x (x - x^{2})}{(x^{2} - 1) (x - x^{2})} + \frac{5 x}{x - x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$

Passaggio 3.2

Moltiplica $\frac{5 x}{x - x^{2}}$ per $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$ .

$\frac{x (x - x^{2})}{(x^{2} - 1) (x - x^{2})} + \frac{5 x (x^{2} - 1)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Passaggio 3.3

Riordina i fattori di $(x^{2} - 1) (x - x^{2})$ .

$\frac{x (x - x^{2})}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)} + \frac{5 x (x^{2} - 1)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Passaggio 4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x (x - x^{2}) + 5 x (x^{2} - 1)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Passaggio 5

Riscrivi $\frac{x (x - x^{2}) + 5 x (x^{2} - 1)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$ in una forma fattorizzata.

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Passaggio 5.1

Scomponi $x$ da $x (x - x^{2}) + 5 x (x^{2} - 1)$ .

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Passaggio 5.1.1

Scomponi $x$ da $5 x (x^{2} - 1)$ .

$\frac{x (x - x^{2}) + x (5 (x^{2} - 1))}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Passaggio 5.1.2

Scomponi $x$ da $x (x - x^{2}) + x (5 (x^{2} - 1))$ .

$\frac{x (x - x^{2} + 5 (x^{2} - 1))}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Passaggio 5.2

Sia $u = x$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x$ con $u$ .

$\frac{x (u + 4 u^{2} - 5)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Passaggio 5.3

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 5.3.1

Riordina i termini.

$\frac{x (4 u^{2} + u - 5)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Passaggio 5.3.2

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 4 \cdot - 5 = - 20$ e la cui somma è $b = 1$ .

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Passaggio 5.3.2.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{x (4 u^{2} + 1 u - 5)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Passaggio 5.3.2.2

Riscrivi $1$ come $- 4$ più $5$ .

$\frac{x (4 u^{2} + (- 4 + 5) u - 5)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Passaggio 5.3.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (4 u^{2} - 4 u + 5 u - 5)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Passaggio 5.3.3

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 5.3.3.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{x ((4 u^{2} - 4 u) + 5 u - 5)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Passaggio 5.3.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{x (4 u (u - 1) + 5 (u - 1))}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Passaggio 5.3.4

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $u - 1$ .

$\frac{x ((u - 1) (4 u + 5))}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Passaggio 5.4

Scomponi.

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Passaggio 5.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x$ .

$\frac{x ((x - 1) (4 x + 5))}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Passaggio 5.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Passaggio 5.5

Scomponi $x$ da $x - x^{2}$ .

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Passaggio 5.5.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{(x^{1} - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Passaggio 5.5.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{(x \cdot 1 - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Passaggio 5.5.3

Scomponi $x$ da $- x^{2}$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{(x \cdot 1 + x (- x)) (x^{2} - 1)}$

Passaggio 5.5.4

Scomponi $x$ da $x \cdot 1 + x (- x)$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot (1 - x) (x^{2} - 1)}$

Passaggio 5.5.5

Moltiplica $x$ per $1 - x$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x (1 - x) (x^{2} - 1)}$

Passaggio 5.6

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x (1 - x) (x^{2} - 1^{2})}$

Passaggio 5.7

Scomponi.

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Passaggio 5.7.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x (1 - x) ((x + 1) (x - 1))}$

Passaggio 5.7.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x (1 - x) (x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 5.8

Raccogli gli esponenti.

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Passaggio 5.8.1

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x (- 1 (- 1) - x) (x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 5.8.2

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x (- 1 (- 1) - (x)) (x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 5.8.3

Scomponi $- 1$ da $- 1 (- 1) - (x)$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x (- 1 (- 1 + x)) (x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 5.8.4

Rimuovi le parentesi.

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 (- 1 + x) (x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 5.8.5

Riordina i termini.

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 (x - 1) (x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 5.8.6

Eleva $x - 1$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 ({(x - 1)}^{1} (x - 1)) (x + 1)}$

Passaggio 5.8.7

Eleva $x - 1$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 ({(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{1}) (x + 1)}$

Passaggio 5.8.8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 {(x - 1)}^{1 + 1} (x + 1)}$

Passaggio 5.8.9

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 {(x - 1)}^{2} (x + 1)}$

Passaggio 5.9

Riduci l'espressione $\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 {(x - 1)}^{2} (x + 1)}$ eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 5.9.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 {(x - 1)}^{2} (x + 1)}$

Passaggio 5.9.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(x - 1) (4 x + 5)}{- 1 {(x - 1)}^{2} (x + 1)}$

Passaggio 6

Riduci l'espressione $\frac{(x - 1) (4 x + 5)}{- 1 {(x - 1)}^{2} (x + 1)}$ eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 6.1

Scomponi $x - 1$ da $- 1 {(x - 1)}^{2} (x + 1)$ .

$\frac{(x - 1) (4 x + 5)}{(x - 1) (- 1 (x - 1) (x + 1))}$

Passaggio 6.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x - 1) (4 x + 5)}{(x - 1) (- 1 (x - 1) (x + 1))}$

Passaggio 6.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 x + 5}{- 1 (x - 1) (x + 1)}$