Preparazione all'algebra Esempi

$\frac{6 x^{2} + 36 x y + 54 y^{2}}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \div \frac{7 x + 21 x}{x + y}$

Passaggio 1

Per dividere un numero per una frazione, moltiplicalo per il suo reciproco.

$\frac{6 x^{2} + 36 x y + 54 y^{2}}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

Passaggio 2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.1

Scomponi $6$ da $6 x^{2} + 36 x y + 54 y^{2}$ .

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Passaggio 2.1.1

Scomponi $6$ da $6 x^{2}$ .

$\frac{6 (x^{2}) + 36 x y + 54 y^{2}}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $6$ da $36 x y$ .

$\frac{6 (x^{2}) + 6 (6 x y) + 54 y^{2}}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

Passaggio 2.1.3

Scomponi $6$ da $54 y^{2}$ .

$\frac{6 (x^{2}) + 6 (6 x y) + 6 (9 y^{2})}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

Passaggio 2.1.4

Scomponi $6$ da $6 (x^{2}) + 6 (6 x y)$ .

$\frac{6 (x^{2} + 6 x y) + 6 (9 y^{2})}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

Passaggio 2.1.5

Scomponi $6$ da $6 (x^{2} + 6 x y) + 6 (9 y^{2})$ .

$\frac{6 (x^{2} + 6 x y + 9 y^{2})}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

Passaggio 2.2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 2.2.1

Riscrivi $9 y^{2}$ come ${(3 y)}^{2}$ .

$\frac{6 (x^{2} + 6 x y + {(3 y)}^{2})}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

Passaggio 2.2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$6 x y = 2 \cdot x \cdot (3 y)$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi il polinomio.

$\frac{6 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot (3 y) + {(3 y)}^{2})}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

Passaggio 2.2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 3 y$ .

$\frac{6 {(x + 3 y)}^{2}}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

Passaggio 3

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 3.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 1 \cdot 5 = 5$ e la cui somma è $b = 6$ .

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Passaggio 3.1.1

Riordina i termini.

$\frac{6 {(x + 3 y)}^{2}}{x^{2} + 5 y^{2} + 6 x y} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

Passaggio 3.1.2

Riordina $5 y^{2}$ e $6 x y$ .

$\frac{6 {(x + 3 y)}^{2}}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

Passaggio 3.1.3

Scomponi $6$ da $6 x y$ .

$\frac{6 {(x + 3 y)}^{2}}{x^{2} + 6 (x y) + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

Passaggio 3.1.4

Riscrivi $6$ come $1$ più $5$ .

$\frac{6 {(x + 3 y)}^{2}}{x^{2} + (1 + 5) (x y) + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

Passaggio 3.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{6 {(x + 3 y)}^{2}}{x^{2} + 1 (x y) + 5 (x y) + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

Passaggio 3.1.6

Moltiplica $x y$ per $1$ .

$\frac{6 {(x + 3 y)}^{2}}{x^{2} + x y + 5 (x y) + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

Passaggio 3.1.7

Sposta le parentesi.

$\frac{6 {(x + 3 y)}^{2}}{x^{2} + x y + 5 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

Passaggio 3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 3.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{6 {(x + 3 y)}^{2}}{(x^{2} + x y) + 5 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

Passaggio 3.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{6 {(x + 3 y)}^{2}}{x (x + y) + 5 y (x + y)} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

Passaggio 3.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x + y$ .

$\frac{6 {(x + 3 y)}^{2}}{(x + y) (x + 5 y)} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

Passaggio 4

Elimina il fattore comune di $x + y$ .

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Passaggio 4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 {(x + 3 y)}^{2}}{(x + y) (x + 5 y)} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

Passaggio 4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{6 {(x + 3 y)}^{2}}{x + 5 y} \cdot \frac{1}{7 x + 21 x}$

Passaggio 5

Moltiplica $\frac{6 {(x + 3 y)}^{2}}{x + 5 y}$ per $\frac{1}{7 x + 21 x}$ .

$\frac{6 {(x + 3 y)}^{2}}{(x + 5 y) (7 x + 21 x)}$

Passaggio 6

Somma $7 x$ e $21 x$ .

$\frac{6 {(x + 3 y)}^{2}}{(x + 5 y) \cdot 28 x}$

Passaggio 7

Elimina il fattore comune di $6$ e $28$ .

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Passaggio 7.1

Scomponi $2$ da $6 {(x + 3 y)}^{2}$ .

$\frac{2 (3 {(x + 3 y)}^{2})}{(x + 5 y) \cdot 28 x}$

Passaggio 7.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 7.2.1

Scomponi $2$ da $(x + 5 y) \cdot 28 x$ .

$\frac{2 (3 {(x + 3 y)}^{2})}{2 ((x + 5 y) \cdot 14 x)}$

Passaggio 7.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (3 {(x + 3 y)}^{2})}{2 ((x + 5 y) \cdot 14 x)}$

Passaggio 7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{(x + 5 y) \cdot 14 x}$

Passaggio 8

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 8.1

Sposta $14$ alla sinistra di $x + 5 y$ .

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{14 \cdot (x + 5 y) x}$

Passaggio 8.2

Riordina i fattori in $\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{14 (x + 5 y) x}$ .

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{14 x (x + 5 y)}$