Preparazione all'algebra Esempi

$\frac{\frac{x - y}{x + y} + \frac{x + y}{x - y}}{\frac{x}{y} + \frac{y}{x}}$

Passaggio 1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $(x + y) (x - y) y x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica $\frac{\frac{x - y}{x + y} + \frac{x + y}{x - y}}{\frac{x}{y} + \frac{y}{x}}$ per $\frac{(x + y) (x - y) y x}{(x + y) (x - y) y x}$ .

$\frac{(x + y) (x - y) y x}{(x + y) (x - y) y x} \cdot \frac{\frac{x - y}{x + y} + \frac{x + y}{x - y}}{\frac{x}{y} + \frac{y}{x}}$

Passaggio 1.2

Combina.

$\frac{(x + y) (x - y) y x (\frac{x - y}{x + y} + \frac{x + y}{x - y})}{(x + y) (x - y) y x (\frac{x}{y} + \frac{y}{x})}$

Passaggio 2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(x + y) (x - y) y x \frac{x - y}{x + y} + (x + y) (x - y) y x \frac{x + y}{x - y}}{(x + y) (x - y) y x \frac{x}{y} + (x + y) (x - y) y x \frac{y}{x}}$

Passaggio 3

Semplifica cancellando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $x + y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Scomponi $x + y$ da $(x + y) (x - y) y x$ .

$\frac{(x + y) ((x - y) y x) \frac{x - y}{x + y} + (x + y) (x - y) y x \frac{x + y}{x - y}}{(x + y) (x - y) y x \frac{x}{y} + (x + y) (x - y) y x \frac{y}{x}}$

Passaggio 3.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x + y) ((x - y) y x) \frac{x - y}{x + y} + (x + y) (x - y) y x \frac{x + y}{x - y}}{(x + y) (x - y) y x \frac{x}{y} + (x + y) (x - y) y x \frac{y}{x}}$

Passaggio 3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(x - y) y x (x - y) + (x + y) (x - y) y x \frac{x + y}{x - y}}{(x + y) (x - y) y x \frac{x}{y} + (x + y) (x - y) y x \frac{y}{x}}$

Passaggio 3.2

Eleva $x - y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{y x ({(x - y)}^{1} (x - y)) + (x + y) (x - y) y x \frac{x + y}{x - y}}{(x + y) (x - y) y x \frac{x}{y} + (x + y) (x - y) y x \frac{y}{x}}$

Passaggio 3.3

Eleva $x - y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{y x ({(x - y)}^{1} {(x - y)}^{1}) + (x + y) (x - y) y x \frac{x + y}{x - y}}{(x + y) (x - y) y x \frac{x}{y} + (x + y) (x - y) y x \frac{y}{x}}$

Passaggio 3.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{y x {(x - y)}^{1 + 1} + (x + y) (x - y) y x \frac{x + y}{x - y}}{(x + y) (x - y) y x \frac{x}{y} + (x + y) (x - y) y x \frac{y}{x}}$

Passaggio 3.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{y x {(x - y)}^{2} + (x + y) (x - y) y x \frac{x + y}{x - y}}{(x + y) (x - y) y x \frac{x}{y} + (x + y) (x - y) y x \frac{y}{x}}$

Passaggio 3.6

Elimina il fattore comune di $x - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Scomponi $x - y$ da $(x + y) (x - y) y x$ .

$\frac{y x {(x - y)}^{2} + (x - y) ((x + y) y x) \frac{x + y}{x - y}}{(x + y) (x - y) y x \frac{x}{y} + (x + y) (x - y) y x \frac{y}{x}}$

Passaggio 3.6.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{y x {(x - y)}^{2} + (x - y) ((x + y) y x) \frac{x + y}{x - y}}{(x + y) (x - y) y x \frac{x}{y} + (x + y) (x - y) y x \frac{y}{x}}$

Passaggio 3.6.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y x {(x - y)}^{2} + (x + y) y x (x + y)}{(x + y) (x - y) y x \frac{x}{y} + (x + y) (x - y) y x \frac{y}{x}}$

Passaggio 3.7

Eleva $x + y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{y x {(x - y)}^{2} + y x ({(x + y)}^{1} (x + y))}{(x + y) (x - y) y x \frac{x}{y} + (x + y) (x - y) y x \frac{y}{x}}$

Passaggio 3.8

Eleva $x + y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{y x {(x - y)}^{2} + y x ({(x + y)}^{1} {(x + y)}^{1})}{(x + y) (x - y) y x \frac{x}{y} + (x + y) (x - y) y x \frac{y}{x}}$

Passaggio 3.9

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{y x {(x - y)}^{2} + y x {(x + y)}^{1 + 1}}{(x + y) (x - y) y x \frac{x}{y} + (x + y) (x - y) y x \frac{y}{x}}$

Passaggio 3.10

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{y x {(x - y)}^{2} + y x {(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y) y x \frac{x}{y} + (x + y) (x - y) y x \frac{y}{x}}$

Passaggio 3.11

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.1

Scomponi $y$ da $(x + y) (x - y) y x$ .

$\frac{y x {(x - y)}^{2} + y x {(x + y)}^{2}}{y ((x + y) (x - y) x) \frac{x}{y} + (x + y) (x - y) y x \frac{y}{x}}$

Passaggio 3.11.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{y x {(x - y)}^{2} + y x {(x + y)}^{2}}{y ((x + y) (x - y) x) \frac{x}{y} + (x + y) (x - y) y x \frac{y}{x}}$

Passaggio 3.11.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y x {(x - y)}^{2} + y x {(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y) x \cdot x + (x + y) (x - y) y x \frac{y}{x}}$

Passaggio 3.12

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{y x {(x - y)}^{2} + y x {(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y) (x^{1} x) + (x + y) (x - y) y x \frac{y}{x}}$

Passaggio 3.13

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{y x {(x - y)}^{2} + y x {(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y) (x^{1} x^{1}) + (x + y) (x - y) y x \frac{y}{x}}$

Passaggio 3.14

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{y x {(x - y)}^{2} + y x {(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y) x^{1 + 1} + (x + y) (x - y) y x \frac{y}{x}}$

Passaggio 3.15

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{y x {(x - y)}^{2} + y x {(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y x \frac{y}{x}}$

Passaggio 3.16

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.16.1

Scomponi $x$ da $(x + y) (x - y) y x$ .

$\frac{y x {(x - y)}^{2} + y x {(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y) x^{2} + x ((x + y) (x - y) y) \frac{y}{x}}$

Passaggio 3.16.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{y x {(x - y)}^{2} + y x {(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y) x^{2} + x ((x + y) (x - y) y) \frac{y}{x}}$

Passaggio 3.16.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y x {(x - y)}^{2} + y x {(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y \cdot y}$

Passaggio 3.17

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{y x {(x - y)}^{2} + y x {(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) (y^{1} y)}$

Passaggio 3.18

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{y x {(x - y)}^{2} + y x {(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) (y^{1} y^{1})}$

Passaggio 3.19

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{y x {(x - y)}^{2} + y x {(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{1 + 1}}$

Passaggio 3.20

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{y x {(x - y)}^{2} + y x {(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Passaggio 4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Scomponi $y x$ da $y x {(x - y)}^{2} + y x {(x + y)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Scomponi $y x$ da $y x {(x - y)}^{2}$ .

$\frac{y x ({(x - y)}^{2}) + y x {(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Passaggio 4.1.2

Scomponi $y x$ da $y x {(x + y)}^{2}$ .

$\frac{y x ({(x - y)}^{2}) + y x ({(x + y)}^{2})}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Passaggio 4.1.3

Scomponi $y x$ da $y x ({(x - y)}^{2}) + y x ({(x + y)}^{2})$ .

$\frac{y x ({(x - y)}^{2} + {(x + y)}^{2})}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Passaggio 4.2

Riscrivi ${(x - y)}^{2}$ come $(x - y) (x - y)$ .

$\frac{y x ((x - y) (x - y) + {(x + y)}^{2})}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Passaggio 4.3

Espandi $(x - y) (x - y)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y x (x (x - y) - y (x - y) + {(x + y)}^{2})}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Passaggio 4.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y x (x \cdot x + x (- y) - y (x - y) + {(x + y)}^{2})}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Passaggio 4.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y x (x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y) + {(x + y)}^{2})}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Passaggio 4.4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{y x (x^{2} + x (- y) - y x - y (- y) + {(x + y)}^{2})}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Passaggio 4.4.1.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{y x (x^{2} - x y - y x - y (- y) + {(x + y)}^{2})}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Passaggio 4.4.1.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{y x (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y + {(x + y)}^{2})}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Passaggio 4.4.1.4

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1.4.1

Sposta $y$ .

$\frac{y x (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y) + {(x + y)}^{2})}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Passaggio 4.4.1.4.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$\frac{y x (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2} + {(x + y)}^{2})}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Passaggio 4.4.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{y x (x^{2} - x y - y x + 1 y^{2} + {(x + y)}^{2})}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Passaggio 4.4.1.6

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$\frac{y x (x^{2} - x y - y x + y^{2} + {(x + y)}^{2})}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Passaggio 4.4.2

Sottrai $y x$ da $- x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

Sposta $y$ .

$\frac{y x (x^{2} - x y - 1 x y + y^{2} + {(x + y)}^{2})}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Passaggio 4.4.2.2

Sottrai $x y$ da $- x y$ .

$\frac{y x (x^{2} - 2 x y + y^{2} + {(x + y)}^{2})}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Passaggio 4.5

Riscrivi ${(x + y)}^{2}$ come $(x + y) (x + y)$ .

$\frac{y x (x^{2} - 2 x y + y^{2} + (x + y) (x + y))}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Passaggio 4.6

Espandi $(x + y) (x + y)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y x (x^{2} - 2 x y + y^{2} + x (x + y) + y (x + y))}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Passaggio 4.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y x (x^{2} - 2 x y + y^{2} + x \cdot x + x y + y (x + y))}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Passaggio 4.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y x (x^{2} - 2 x y + y^{2} + x \cdot x + x y + y x + y \cdot y)}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Passaggio 4.7

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{y x (x^{2} - 2 x y + y^{2} + x^{2} + x y + y x + y \cdot y)}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Passaggio 4.7.1.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$\frac{y x (x^{2} - 2 x y + y^{2} + x^{2} + x y + y x + y^{2})}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Passaggio 4.7.2

Somma $x y$ e $y x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.1

Riordina $y$ e $x$ .

$\frac{y x (x^{2} - 2 x y + y^{2} + x^{2} + x y + x y + y^{2})}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Passaggio 4.7.2.2

Somma $x y$ e $x y$ .

$\frac{y x (x^{2} - 2 x y + y^{2} + x^{2} + 2 x y + y^{2})}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Passaggio 4.8

Somma $x^{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{y x (2 x^{2} - 2 x y + y^{2} + 2 x y + y^{2})}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Passaggio 4.9

Somma $- 2 x y$ e $2 x y$ .

$\frac{y x (2 x^{2} + y^{2} + 0 + y^{2})}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Passaggio 4.10

Somma $2 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{y x (2 x^{2} + y^{2} + y^{2})}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Passaggio 4.11

Somma $y^{2}$ e $y^{2}$ .

$\frac{y x (2 x^{2} + 2 y^{2})}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Passaggio 4.12

Scomponi $2$ da $2 x^{2} + 2 y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.12.1

Scomponi $2$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{y x (2 (x^{2}) + 2 y^{2})}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Passaggio 4.12.2

Scomponi $2$ da $2 y^{2}$ .

$\frac{y x (2 (x^{2}) + 2 (y^{2}))}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Passaggio 4.12.3

Scomponi $2$ da $2 (x^{2}) + 2 (y^{2})$ .

$\frac{y x (2 (x^{2} + y^{2}))}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

$\frac{y x \cdot 2 (x^{2} + y^{2})}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Passaggio 5

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Scomponi $(x + y) (x - y)$ da $(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Scomponi $(x + y) (x - y)$ da $(x + y) (x - y) x^{2}$ .

$\frac{y x \cdot 2 (x^{2} + y^{2})}{(x + y) (x - y) (x^{2}) + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Passaggio 5.1.2

Scomponi $(x + y) (x - y)$ da $(x + y) (x - y) y^{2}$ .

$\frac{y x \cdot 2 (x^{2} + y^{2})}{(x + y) (x - y) (x^{2}) + (x + y) (x - y) (y^{2})}$

Passaggio 5.1.3

Scomponi $(x + y) (x - y)$ da $(x + y) (x - y) (x^{2}) + (x + y) (x - y) (y^{2})$ .

$\frac{y x \cdot 2 (x^{2} + y^{2})}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune di $x^{2} + y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y x \cdot 2 (x^{2} + y^{2})}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

Passaggio 5.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y x \cdot 2}{(x + y) (x - y)}$

Passaggio 5.3

Sposta $2$ alla sinistra di $y x$ .

$\frac{2 y x}{(x + y) (x - y)}$