Preparazione all'algebra Esempi

$8 x^{3} + 3 x - 7 x^{3} - 4$

Passaggio 1

Sottrai $7 x^{3}$ da $8 x^{3}$ .

$x^{3} + 3 x - 4$

Passaggio 2

Scomponi $x^{3} + 3 x - 4$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 2.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Passaggio 2.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

Passaggio 2.3

Sostituisci $1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $1$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 2.3.1

Sostituisci $1$ nel polinomio.

$1^{3} + 3 \cdot 1 - 4$

Passaggio 2.3.2

Eleva $1$ alla potenza di $3$ .

$1 + 3 \cdot 1 - 4$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$1 + 3 - 4$

Passaggio 2.3.4

Somma $1$ e $3$ .

$4 - 4$

Passaggio 2.3.5

Sottrai $4$ da $4$ .

$0$

Passaggio 2.4

Poiché $1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} + 3 x - 4}{x - 1}$

Passaggio 2.5

Dividi $x^{3} + 3 x - 4$ per $x - 1$ .

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Passaggio 2.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

Passaggio 2.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$

Passaggio 2.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Passaggio 2.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Passaggio 2.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$

Passaggio 2.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$

Passaggio 2.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$

Passaggio 2.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

Passaggio 2.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{2} - x$

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Passaggio 2.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$

Passaggio 2.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$	-	$4$

Passaggio 2.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $4 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$	+	$4$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$	-	$4$

Passaggio 2.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$x$	+	$4$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$	-	$4$
							+	$4 x$	-	$4$

Passaggio 2.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $4 x - 4$

				$x^{2}$	+	$x$	+	$4$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$	-	$4$
							-	$4 x$	+	$4$

Passaggio 2.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$x$	+	$4$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$	-	$4$
							-	$4 x$	+	$4$
										$0$

Passaggio 2.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} + x + 4$

Passaggio 2.6

Scrivi $x^{3} + 3 x - 4$ come insieme di fattori.

$(x - 1) (x^{2} + x + 4)$