Preparazione all'algebra Esempi

$216 x^{6} + 19 x^{3} - 1$

Passaggio 1

Riscrivi $x^{6}$ come ${(x^{3})}^{2}$ .

$216 {(x^{3})}^{2} + 19 x^{3} - 1$

Passaggio 2

Sia $u = x^{3}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{3}$ con $u$ .

$216 u^{2} + 19 u - 1$

Passaggio 3

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 3.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 216 \cdot - 1 = - 216$ e la cui somma è $b = 19$ .

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Passaggio 3.1.1

Scomponi $19$ da $19 u$ .

$216 u^{2} + 19 (u) - 1$

Passaggio 3.1.2

Riscrivi $19$ come $- 8$ più $27$ .

$216 u^{2} + (- 8 + 27) u - 1$

Passaggio 3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$216 u^{2} - 8 u + 27 u - 1$

Passaggio 3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 3.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(216 u^{2} - 8 u) + 27 u - 1$

Passaggio 3.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$8 u (27 u - 1) + 1 (27 u - 1)$

Passaggio 3.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $27 u - 1$ .

$(27 u - 1) (8 u + 1)$

Passaggio 4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{3}$ .

$(27 x^{3} - 1) (8 x^{3} + 1)$

Passaggio 5

Riscrivi $27 x^{3}$ come ${(3 x)}^{3}$ .

$({(3 x)}^{3} - 1) (8 x^{3} + 1)$

Passaggio 6

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

$({(3 x)}^{3} - 1^{3}) (8 x^{3} + 1)$

Passaggio 7

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = 3 x$ e $b = 1$ .

$(3 x - 1) ({(3 x)}^{2} + 3 x \cdot 1 + 1^{2}) (8 x^{3} + 1)$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Applica la regola del prodotto a $3 x$ .

$(3 x - 1) (3^{2} x^{2} + 3 x \cdot 1 + 1^{2}) (8 x^{3} + 1)$

Passaggio 8.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x \cdot 1 + 1^{2}) (8 x^{3} + 1)$

Passaggio 8.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1^{2}) (8 x^{3} + 1)$

Passaggio 8.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) (8 x^{3} + 1)$

Passaggio 9

Riscrivi $8 x^{3}$ come ${(2 x)}^{3}$ .

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) ({(2 x)}^{3} + 1)$

Passaggio 10

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) ({(2 x)}^{3} + 1^{3})$

Passaggio 11

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della somma di cubi, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ dove $a = 2 x$ e $b = 1$ .

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) ((2 x + 1) ({(2 x)}^{2} - (2 x) \cdot 1 + 1^{2}))$

Passaggio 12

Scomponi.

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Passaggio 12.1

Semplifica.

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Passaggio 12.1.1

Applica la regola del prodotto a $2 x$ .

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) ((2 x + 1) (2^{2} x^{2} - (2 x) \cdot 1 + 1^{2}))$

Passaggio 12.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) ((2 x + 1) (4 x^{2} - (2 x) \cdot 1 + 1^{2}))$

Passaggio 12.1.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) ((2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x \cdot 1 + 1^{2}))$

Passaggio 12.1.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) ((2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x + 1^{2}))$

Passaggio 12.1.5

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) ((2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x + 1))$

Passaggio 12.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) (2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x + 1)$