Preparazione all'algebra Esempi

$96 z^{5} + 72 z^{3} - 48 z^{2}$

Passaggio 1

Scomponi $24 z^{2}$ da $96 z^{5} + 72 z^{3} - 48 z^{2}$ .

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Passaggio 1.1

Scomponi $24 z^{2}$ da $96 z^{5}$ .

$24 z^{2} (4 z^{3}) + 72 z^{3} - 48 z^{2}$

Passaggio 1.2

Scomponi $24 z^{2}$ da $72 z^{3}$ .

$24 z^{2} (4 z^{3}) + 24 z^{2} (3 z) - 48 z^{2}$

Passaggio 1.3

Scomponi $24 z^{2}$ da $- 48 z^{2}$ .

$24 z^{2} (4 z^{3}) + 24 z^{2} (3 z) + 24 z^{2} (- 2)$

Passaggio 1.4

Scomponi $24 z^{2}$ da $24 z^{2} (4 z^{3}) + 24 z^{2} (3 z)$ .

$24 z^{2} (4 z^{3} + 3 z) + 24 z^{2} (- 2)$

Passaggio 1.5

Scomponi $24 z^{2}$ da $24 z^{2} (4 z^{3} + 3 z) + 24 z^{2} (- 2)$ .

$24 z^{2} (4 z^{3} + 3 z - 2)$

Passaggio 2

Scomponi.

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Passaggio 2.1

Scomponi $4 z^{3} + 3 z - 2$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 2.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Passaggio 2.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 2$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci $0.5$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $0.5$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 2.1.3.1

Sostituisci $0.5$ nel polinomio.

$4 \cdot {0.5}^{3} + 3 \cdot 0.5 - 2$

Passaggio 2.1.3.2

Eleva $0.5$ alla potenza di $3$ .

$4 \cdot 0.125 + 3 \cdot 0.5 - 2$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $4$ per $0.125$ .

$0.5 + 3 \cdot 0.5 - 2$

Passaggio 2.1.3.4

Moltiplica $3$ per $0.5$ .

$0.5 + 1.5 - 2$

Passaggio 2.1.3.5

Somma $0.5$ e $1.5$ .

$2 - 2$

Passaggio 2.1.3.6

Sottrai $2$ da $2$ .

$0$

Passaggio 2.1.4

Poiché $0.5$ è una radice nota, dividi il polinomio per $2 z - 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{4 z^{3} + 3 z - 2}{2 z - 1}$

Passaggio 2.1.5

Dividi $4 z^{3} + 3 z - 2$ per $2 z - 1$ .

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Passaggio 2.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$2 z$

$1$

$4 z^{3}$

$0 z^{2}$

$3 z$

$2$

Passaggio 2.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $4 z^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 z$ .

					$2 z^{2}$
	$2 z$	-	$1$		$4 z^{3}$	+	$0 z^{2}$	+	$3 z$	-	$2$

Passaggio 2.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2 z^{2}$
$2 z$	-	$1$		$4 z^{3}$	+	$0 z^{2}$	+	$3 z$	-	$2$
			+	$4 z^{3}$	-	$2 z^{2}$

Passaggio 2.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $4 z^{3} - 2 z^{2}$

				$2 z^{2}$
$2 z$	-	$1$		$4 z^{3}$	+	$0 z^{2}$	+	$3 z$	-	$2$
			-	$4 z^{3}$	+	$2 z^{2}$

Passaggio 2.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2 z^{2}$
$2 z$	-	$1$		$4 z^{3}$	+	$0 z^{2}$	+	$3 z$	-	$2$
			-	$4 z^{3}$	+	$2 z^{2}$
					+	$2 z^{2}$

Passaggio 2.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$2 z^{2}$
$2 z$	-	$1$		$4 z^{3}$	+	$0 z^{2}$	+	$3 z$	-	$2$
			-	$4 z^{3}$	+	$2 z^{2}$
					+	$2 z^{2}$	+	$3 z$

Passaggio 2.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $2 z^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 z$ .

				$2 z^{2}$	+	$z$
$2 z$	-	$1$		$4 z^{3}$	+	$0 z^{2}$	+	$3 z$	-	$2$
			-	$4 z^{3}$	+	$2 z^{2}$
					+	$2 z^{2}$	+	$3 z$

Passaggio 2.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2 z^{2}$	+	$z$
$2 z$	-	$1$		$4 z^{3}$	+	$0 z^{2}$	+	$3 z$	-	$2$
			-	$4 z^{3}$	+	$2 z^{2}$
					+	$2 z^{2}$	+	$3 z$
					+	$2 z^{2}$	-	$z$

Passaggio 2.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $2 z^{2} - z$

				$2 z^{2}$	+	$z$
$2 z$	-	$1$		$4 z^{3}$	+	$0 z^{2}$	+	$3 z$	-	$2$
			-	$4 z^{3}$	+	$2 z^{2}$
					+	$2 z^{2}$	+	$3 z$
					-	$2 z^{2}$	+	$z$

Passaggio 2.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2 z^{2}$	+	$z$
$2 z$	-	$1$		$4 z^{3}$	+	$0 z^{2}$	+	$3 z$	-	$2$
			-	$4 z^{3}$	+	$2 z^{2}$
					+	$2 z^{2}$	+	$3 z$
					-	$2 z^{2}$	+	$z$
							+	$4 z$

Passaggio 2.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$2 z^{2}$	+	$z$
$2 z$	-	$1$		$4 z^{3}$	+	$0 z^{2}$	+	$3 z$	-	$2$
			-	$4 z^{3}$	+	$2 z^{2}$
					+	$2 z^{2}$	+	$3 z$
					-	$2 z^{2}$	+	$z$
							+	$4 z$	-	$2$

Passaggio 2.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $4 z$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 z$ .

				$2 z^{2}$	+	$z$	+	$2$
$2 z$	-	$1$		$4 z^{3}$	+	$0 z^{2}$	+	$3 z$	-	$2$
			-	$4 z^{3}$	+	$2 z^{2}$
					+	$2 z^{2}$	+	$3 z$
					-	$2 z^{2}$	+	$z$
							+	$4 z$	-	$2$

Passaggio 2.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2 z^{2}$	+	$z$	+	$2$
$2 z$	-	$1$		$4 z^{3}$	+	$0 z^{2}$	+	$3 z$	-	$2$
			-	$4 z^{3}$	+	$2 z^{2}$
					+	$2 z^{2}$	+	$3 z$
					-	$2 z^{2}$	+	$z$
							+	$4 z$	-	$2$
							+	$4 z$	-	$2$

Passaggio 2.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $4 z - 2$

				$2 z^{2}$	+	$z$	+	$2$
$2 z$	-	$1$		$4 z^{3}$	+	$0 z^{2}$	+	$3 z$	-	$2$
			-	$4 z^{3}$	+	$2 z^{2}$
					+	$2 z^{2}$	+	$3 z$
					-	$2 z^{2}$	+	$z$
							+	$4 z$	-	$2$
							-	$4 z$	+	$2$

Passaggio 2.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2 z^{2}$	+	$z$	+	$2$
$2 z$	-	$1$		$4 z^{3}$	+	$0 z^{2}$	+	$3 z$	-	$2$
			-	$4 z^{3}$	+	$2 z^{2}$
					+	$2 z^{2}$	+	$3 z$
					-	$2 z^{2}$	+	$z$
							+	$4 z$	-	$2$
							-	$4 z$	+	$2$
										$0$

Passaggio 2.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$2 z^{2} + z + 2$

Passaggio 2.1.6

Scrivi $4 z^{3} + 3 z - 2$ come insieme di fattori.

$24 z^{2} ((2 z - 1) (2 z^{2} + z + 2))$

Passaggio 2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$24 z^{2} (2 z - 1) (2 z^{2} + z + 2)$