Preparazione all'algebra Esempi

$\frac{3 z - 7}{z^{2} - 4 z - 32} - \frac{z + 8}{z^{2} - 16}$

Passaggio 1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1

Scomponi $z^{2} - 4 z - 32$ usando il metodo AC.

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Passaggio 1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 32$ e la cui somma è $- 4$ .

$- 8, 4$

Passaggio 1.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$\frac{3 z - 7}{(z - 8) (z + 4)} - \frac{z + 8}{z^{2} - 16}$

Passaggio 1.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 1.2.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$\frac{3 z - 7}{(z - 8) (z + 4)} - \frac{z + 8}{z^{2} - 4^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = z$ e $b = 4$ .

$\frac{3 z - 7}{(z - 8) (z + 4)} - \frac{z + 8}{(z + 4) (z - 4)}$

Passaggio 2

Per scrivere $\frac{3 z - 7}{(z - 8) (z + 4)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{z - 4}{z - 4}$ .

$\frac{3 z - 7}{(z - 8) (z + 4)} \cdot \frac{z - 4}{z - 4} - \frac{z + 8}{(z + 4) (z - 4)}$

Passaggio 3

Per scrivere $- \frac{z + 8}{(z + 4) (z - 4)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{z - 8}{z - 8}$ .

$\frac{3 z - 7}{(z - 8) (z + 4)} \cdot \frac{z - 4}{z - 4} - \frac{z + 8}{(z + 4) (z - 4)} \cdot \frac{z - 8}{z - 8}$

Passaggio 4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(z - 8) (z + 4) (z - 4)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 4.1

Moltiplica $\frac{3 z - 7}{(z - 8) (z + 4)}$ per $\frac{z - 4}{z - 4}$ .

$\frac{(3 z - 7) (z - 4)}{(z - 8) (z + 4) (z - 4)} - \frac{z + 8}{(z + 4) (z - 4)} \cdot \frac{z - 8}{z - 8}$

Passaggio 4.2

Moltiplica $\frac{z + 8}{(z + 4) (z - 4)}$ per $\frac{z - 8}{z - 8}$ .

$\frac{(3 z - 7) (z - 4)}{(z - 8) (z + 4) (z - 4)} - \frac{(z + 8) (z - 8)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Passaggio 4.3

Riordina i fattori di $(z - 8) (z + 4) (z - 4)$ .

$\frac{(3 z - 7) (z - 4)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)} - \frac{(z + 8) (z - 8)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Passaggio 5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{(3 z - 7) (z - 4) - (z + 8) (z - 8)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Passaggio 6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1

Espandi $(3 z - 7) (z - 4)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 6.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 z (z - 4) - 7 (z - 4) - (z + 8) (z - 8)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Passaggio 6.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 z \cdot z + 3 z \cdot - 4 - 7 (z - 4) - (z + 8) (z - 8)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Passaggio 6.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 z \cdot z + 3 z \cdot - 4 - 7 z - 7 \cdot - 4 - (z + 8) (z - 8)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Passaggio 6.2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.2.1.1

Moltiplica $z$ per $z$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 6.2.1.1.1

Sposta $z$ .

$\frac{3 (z \cdot z) + 3 z \cdot - 4 - 7 z - 7 \cdot - 4 - (z + 8) (z - 8)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Passaggio 6.2.1.1.2

Moltiplica $z$ per $z$ .

$\frac{3 z^{2} + 3 z \cdot - 4 - 7 z - 7 \cdot - 4 - (z + 8) (z - 8)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$\frac{3 z^{2} - 12 z - 7 z - 7 \cdot - 4 - (z + 8) (z - 8)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $- 7$ per $- 4$ .

$\frac{3 z^{2} - 12 z - 7 z + 28 - (z + 8) (z - 8)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $7 z$ da $- 12 z$ .

$\frac{3 z^{2} - 19 z + 28 - (z + 8) (z - 8)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Passaggio 6.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 z^{2} - 19 z + 28 + (- z - 1 \cdot 8) (z - 8)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Passaggio 6.4

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$\frac{3 z^{2} - 19 z + 28 + (- z - 8) (z - 8)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Passaggio 6.5

Espandi $(- z - 8) (z - 8)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 6.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 z^{2} - 19 z + 28 - z (z - 8) - 8 (z - 8)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Passaggio 6.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 z^{2} - 19 z + 28 - z \cdot z - z \cdot - 8 - 8 (z - 8)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Passaggio 6.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 z^{2} - 19 z + 28 - z \cdot z - z \cdot - 8 - 8 z - 8 \cdot - 8}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Passaggio 6.6

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 6.6.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.6.1.1

Moltiplica $z$ per $z$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 6.6.1.1.1

Sposta $z$ .

$\frac{3 z^{2} - 19 z + 28 - (z \cdot z) - z \cdot - 8 - 8 z - 8 \cdot - 8}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Passaggio 6.6.1.1.2

Moltiplica $z$ per $z$ .

$\frac{3 z^{2} - 19 z + 28 - z^{2} - z \cdot - 8 - 8 z - 8 \cdot - 8}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Passaggio 6.6.1.2

Moltiplica $- 8$ per $- 1$ .

$\frac{3 z^{2} - 19 z + 28 - z^{2} + 8 z - 8 z - 8 \cdot - 8}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Passaggio 6.6.1.3

Moltiplica $- 8$ per $- 8$ .

$\frac{3 z^{2} - 19 z + 28 - z^{2} + 8 z - 8 z + 64}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Passaggio 6.6.2

Sottrai $8 z$ da $8 z$ .

$\frac{3 z^{2} - 19 z + 28 - z^{2} + 0 + 64}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Passaggio 6.6.3

Somma $- z^{2}$ e $0$ .

$\frac{3 z^{2} - 19 z + 28 - z^{2} + 64}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Passaggio 6.7

Sottrai $z^{2}$ da $3 z^{2}$ .

$\frac{2 z^{2} - 19 z + 28 + 64}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Passaggio 6.8

Somma $28$ e $64$ .

$\frac{2 z^{2} - 19 z + 92}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$