Preparazione all'algebra Esempi

$\frac{x + 1}{x - 4} + \frac{x - 2}{x + 4} < \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{x^{2} - 16}$

Passaggio 1

Sottrai $\frac{- 2 x^{2} + x + 32}{x^{2} - 16}$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$\frac{x + 1}{x - 4} + \frac{x - 2}{x + 4} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{x^{2} - 16} < 0$

Passaggio 2

Semplifica $\frac{x + 1}{x - 4} + \frac{x - 2}{x + 4} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{x^{2} - 16}$ .

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Passaggio 2.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 2.1.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$\frac{x + 1}{x - 4} + \frac{x - 2}{x + 4} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{x^{2} - 4^{2}} < 0$

Passaggio 2.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 4$ .

$\frac{x + 1}{x - 4} + \frac{x - 2}{x + 4} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Passaggio 2.2

Per scrivere $\frac{x + 1}{x - 4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{x + 1}{x - 4} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} + \frac{x - 2}{x + 4} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Passaggio 2.3

Per scrivere $\frac{x - 2}{x + 4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{x + 1}{x - 4} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} + \frac{x - 2}{x + 4} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Passaggio 2.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(x - 4) (x + 4)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Moltiplica $\frac{x + 1}{x - 4}$ per $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x - 4) (x + 4)} + \frac{x - 2}{x + 4} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $\frac{x - 2}{x + 4}$ per $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x - 4) (x + 4)} + \frac{(x - 2) (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Passaggio 2.4.3

Riordina i fattori di $(x - 4) (x + 4)$ .

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x + 4) (x - 4)} + \frac{(x - 2) (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Passaggio 2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{(x + 1) (x + 4) + (x - 2) (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Passaggio 2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{(x + 1) (x + 4) + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Passaggio 2.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Espandi $(x + 1) (x + 4)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.7.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (x + 4) + 1 (x + 4) + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Passaggio 2.7.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 4 + 1 (x + 4) + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Passaggio 2.7.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 4 + 1 x + 1 \cdot 4 + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Passaggio 2.7.2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 2.7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 4 + 1 x + 1 \cdot 4 + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Passaggio 2.7.2.1.2

Sposta $4$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{x^{2} + 4 \cdot x + 1 x + 1 \cdot 4 + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Passaggio 2.7.2.1.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{x^{2} + 4 x + x + 1 \cdot 4 + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Passaggio 2.7.2.1.4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\frac{x^{2} + 4 x + x + 4 + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Passaggio 2.7.2.2

Somma $4 x$ e $x$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Passaggio 2.7.3

Espandi $(x - 2) (x - 4)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.7.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x (x - 4) - 2 (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Passaggio 2.7.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x \cdot x + x \cdot - 4 - 2 (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Passaggio 2.7.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x \cdot x + x \cdot - 4 - 2 x - 2 \cdot - 4 - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Passaggio 2.7.4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.7.4.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x^{2} + x \cdot - 4 - 2 x - 2 \cdot - 4 - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Passaggio 2.7.4.1.2

Sposta $- 4$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x^{2} - 4 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 4 - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Passaggio 2.7.4.1.3

Moltiplica $- 2$ per $- 4$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x^{2} - 4 x - 2 x + 8 - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Passaggio 2.7.4.2

Sottrai $2 x$ da $- 4 x$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x^{2} - 6 x + 8 - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Passaggio 2.7.5

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x^{2} - 6 x + 8 - (- 2 x^{2}) - x - 1 \cdot 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Passaggio 2.7.6

Semplifica.

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Passaggio 2.7.6.1

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x^{2} - 6 x + 8 + 2 x^{2} - x - 1 \cdot 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Passaggio 2.7.6.2

Moltiplica $- 1$ per $32$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x^{2} - 6 x + 8 + 2 x^{2} - x - 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Passaggio 2.8

Somma $x^{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 x + 4 - 6 x + 8 + 2 x^{2} - x - 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Passaggio 2.9

Somma $2 x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} + 5 x + 4 - 6 x + 8 - x - 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Passaggio 2.10

Sottrai $6 x$ da $5 x$ .

$\frac{4 x^{2} - x + 4 + 8 - x - 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Passaggio 2.11

Sottrai $x$ da $- x$ .

$\frac{4 x^{2} - 2 x + 4 + 8 - 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Passaggio 2.12

Somma $4$ e $8$ .

$\frac{4 x^{2} - 2 x + 12 - 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Passaggio 2.13

Sottrai $32$ da $12$ .

$\frac{4 x^{2} - 2 x - 20}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Passaggio 2.14

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.14.1

Scomponi $2$ da $4 x^{2} - 2 x - 20$ .

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Passaggio 2.14.1.1

Scomponi $2$ da $4 x^{2}$ .

$\frac{2 (2 x^{2}) - 2 x - 20}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Passaggio 2.14.1.2

Scomponi $2$ da $- 2 x$ .

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 (- x) - 20}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Passaggio 2.14.1.3

Scomponi $2$ da $- 20$ .

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 (- x) + 2 (- 10)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Passaggio 2.14.1.4

Scomponi $2$ da $2 (2 x^{2}) + 2 (- x)$ .

$\frac{2 (2 x^{2} - x) + 2 (- 10)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Passaggio 2.14.1.5

Scomponi $2$ da $2 (2 x^{2} - x) + 2 (- 10)$ .

$\frac{2 (2 x^{2} - x - 10)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Passaggio 2.14.2

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 2.14.2.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot - 10 = - 20$ e la cui somma è $b = - 1$ .

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Passaggio 2.14.2.1.1

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{2 (2 x^{2} - (x) - 10)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Passaggio 2.14.2.1.2

Riscrivi $- 1$ come $4$ più $- 5$ .

$\frac{2 (2 x^{2} + (4 - 5) x - 10)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Passaggio 2.14.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (2 x^{2} + 4 x - 5 x - 10)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Passaggio 2.14.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 2.14.2.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{2 ((2 x^{2} + 4 x) - 5 x - 10)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Passaggio 2.14.2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{2 (2 x (x + 2) - 5 (x + 2))}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Passaggio 2.14.2.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x + 2$ .

$\frac{2 ((x + 2) (2 x - 5))}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

$\frac{2 (x + 2) (2 x - 5)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Passaggio 3

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$x + 2 = 0$

$2 x - 5 = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

Passaggio 4

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 5

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = 5$

Passaggio 6

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 5$ e semplifica.

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Passaggio 6.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 5$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Passaggio 6.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 6.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Passaggio 6.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Passaggio 7

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 4$

Passaggio 8

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 9

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = - 2$

$x = \frac{5}{2}$

$x = - 4$

$x = 4$

Passaggio 10

Consolida le soluzioni.

$x = - 2, \frac{5}{2}, - 4, 4$

Passaggio 11

Trova il dominio di $\frac{2 (x + 2) (2 x - 5)}{(x + 4) (x - 4)}$ .

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Passaggio 11.1

Imposta il denominatore in $\frac{2 (x + 2) (2 x - 5)}{(x + 4) (x - 4)}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$(x + 4) (x - 4) = 0$

Passaggio 11.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 11.2.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

Passaggio 11.2.2

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 11.2.2.1

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ .

$x + 4 = 0$

Passaggio 11.2.2.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 4$

Passaggio 11.2.3

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 11.2.3.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 11.2.3.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 11.2.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 4) (x - 4) = 0$ vera.

$x = - 4, 4$

Passaggio 11.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 4) \cup (4, \infty)$

Passaggio 12

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 4$

$- 4 < x < - 2$

$- 2 < x < \frac{5}{2}$

$\frac{5}{2} < x < 4$

$x > 4$

Passaggio 13

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 13.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 13.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 6$

Passaggio 13.1.2

Sostituisci $x$ con $- 6$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{(- 6) + 1}{(- 6) - 4} + \frac{(- 6) - 2}{(- 6) + 4} < \frac{- 2 {(- 6)}^{2} - 6 + 32}{{(- 6)}^{2} - 16}$

Passaggio 13.1.3

Il lato sinistro di $4.5$ non è minore del lato destro di $- 2.3$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 13.2

Testa un valore sull'intervallo $- 4 < x < - 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 13.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 4 < x < - 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 3$

Passaggio 13.2.2

Sostituisci $x$ con $- 3$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{(- 3) + 1}{(- 3) - 4} + \frac{(- 3) - 2}{(- 3) + 4} < \frac{- 2 {(- 3)}^{2} - 3 + 32}{{(- 3)}^{2} - 16}$

Passaggio 13.2.3

Il lato sinistro di $- 4.\overline{714285}$ è minore del lato destro di $- 1.\overline{571428}$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 13.3

Testa un valore sull'intervallo $- 2 < x < \frac{5}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 13.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 2 < x < \frac{5}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 13.3.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{(0) + 1}{(0) - 4} + \frac{(0) - 2}{(0) + 4} < \frac{- 2 {(0)}^{2} + 0 + 32}{{(0)}^{2} - 16}$

Passaggio 13.3.3

Il lato sinistro di $- 0.75$ non è minore del lato destro di $- 2$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 13.4

Testa un valore sull'intervallo $\frac{5}{2} < x < 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 13.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $\frac{5}{2} < x < 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 3$

Passaggio 13.4.2

Sostituisci $x$ con $3$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{(3) + 1}{(3) - 4} + \frac{(3) - 2}{(3) + 4} < \frac{- 2 {(3)}^{2} + 3 + 32}{{(3)}^{2} - 16}$

Passaggio 13.4.3

Il lato sinistro di $- 3.\overline{857142}$ è minore del lato destro di $- 2.\overline{428571}$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 13.5

Testa un valore sull'intervallo $x > 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 13.5.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 6$

Passaggio 13.5.2

Sostituisci $x$ con $6$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{(6) + 1}{(6) - 4} + \frac{(6) - 2}{(6) + 4} < \frac{- 2 {(6)}^{2} + 6 + 32}{{(6)}^{2} - 16}$

Passaggio 13.5.3

Il lato sinistro di $3.9$ non è minore del lato destro di $- 1.7$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 13.6

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < - 2$ Vero

$- 2 < x < \frac{5}{2}$ Falso

$\frac{5}{2} < x < 4$ Vero

$x > 4$ Falso

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < - 2$ Vero

$- 2 < x < \frac{5}{2}$ Falso

$\frac{5}{2} < x < 4$ Vero

$x > 4$ Falso

Passaggio 14

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$- 4 < x < - 2$ o $\frac{5}{2} < x < 4$

Passaggio 15

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$- 4 < x < - 2 or \frac{5}{2} < x < 4$

Notazione degli intervalli:

$(- 4, - 2) \cup (\frac{5}{2}, 4)$

Passaggio 16