Preparazione all'algebra Esempi

$\frac{x^{2} + 13 x - 20}{x^{2} - 25} + \frac{x - 1}{x + 5}$

Passaggio 1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 1.1

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 13 x - 20}{x^{2} - 5^{2}} + \frac{x - 1}{x + 5}$

Passaggio 1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 5$ .

$\frac{x^{2} + 13 x - 20}{(x + 5) (x - 5)} + \frac{x - 1}{x + 5}$

Passaggio 2

Per scrivere $\frac{x - 1}{x + 5}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$\frac{x^{2} + 13 x - 20}{(x + 5) (x - 5)} + \frac{x - 1}{x + 5} \cdot \frac{x - 5}{x - 5}$

Passaggio 3

Semplifica i termini.

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Passaggio 3.1

Moltiplica $\frac{x - 1}{x + 5}$ per $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$\frac{x^{2} + 13 x - 20}{(x + 5) (x - 5)} + \frac{(x - 1) (x - 5)}{(x + 5) (x - 5)}$

Passaggio 3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x^{2} + 13 x - 20 + (x - 1) (x - 5)}{(x + 5) (x - 5)}$

Passaggio 4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.1

Espandi $(x - 1) (x - 5)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} + 13 x - 20 + x (x - 5) - 1 (x - 5)}{(x + 5) (x - 5)}$

Passaggio 4.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} + 13 x - 20 + x \cdot x + x \cdot - 5 - 1 (x - 5)}{(x + 5) (x - 5)}$

Passaggio 4.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} + 13 x - 20 + x \cdot x + x \cdot - 5 - 1 x - 1 \cdot - 5}{(x + 5) (x - 5)}$

Passaggio 4.2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{x^{2} + 13 x - 20 + x^{2} + x \cdot - 5 - 1 x - 1 \cdot - 5}{(x + 5) (x - 5)}$

Passaggio 4.2.1.2

Sposta $- 5$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{x^{2} + 13 x - 20 + x^{2} - 5 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 5}{(x + 5) (x - 5)}$

Passaggio 4.2.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\frac{x^{2} + 13 x - 20 + x^{2} - 5 x - x - 1 \cdot - 5}{(x + 5) (x - 5)}$

Passaggio 4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

$\frac{x^{2} + 13 x - 20 + x^{2} - 5 x - x + 5}{(x + 5) (x - 5)}$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $x$ da $- 5 x$ .

$\frac{x^{2} + 13 x - 20 + x^{2} - 6 x + 5}{(x + 5) (x - 5)}$

Passaggio 4.3

Somma $x^{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} + 13 x - 20 - 6 x + 5}{(x + 5) (x - 5)}$

Passaggio 4.4

Sottrai $6 x$ da $13 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 7 x - 20 + 5}{(x + 5) (x - 5)}$

Passaggio 4.5

Somma $- 20$ e $5$ .

$\frac{2 x^{2} + 7 x - 15}{(x + 5) (x - 5)}$

Passaggio 4.6

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 4.6.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot - 15 = - 30$ e la cui somma è $b = 7$ .

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Passaggio 4.6.1.1

Scomponi $7$ da $7 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 7 (x) - 15}{(x + 5) (x - 5)}$

Passaggio 4.6.1.2

Riscrivi $7$ come $- 3$ più $10$ .

$\frac{2 x^{2} + (- 3 + 10) x - 15}{(x + 5) (x - 5)}$

Passaggio 4.6.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} - 3 x + 10 x - 15}{(x + 5) (x - 5)}$

Passaggio 4.6.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 4.6.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{(2 x^{2} - 3 x) + 10 x - 15}{(x + 5) (x - 5)}$

Passaggio 4.6.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{x (2 x - 3) + 5 (2 x - 3)}{(x + 5) (x - 5)}$

Passaggio 4.6.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 x - 3$ .

$\frac{(2 x - 3) (x + 5)}{(x + 5) (x - 5)}$

Passaggio 5

Elimina il fattore comune di $x + 5$ .

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Passaggio 5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(2 x - 3) (x + 5)}{(x + 5) (x - 5)}$

Passaggio 5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 x - 3}{x - 5}$