Preparazione all'algebra Esempi

$\frac{x + 8}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{3 x - 2}{x^{2} - 4}$

Passaggio 1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 1.1.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{x + 8}{x^{2} - 4 x + 2^{2}} + \frac{3 x - 2}{x^{2} - 4}$

Passaggio 1.1.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Passaggio 1.1.3

Riscrivi il polinomio.

$\frac{x + 8}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}} + \frac{3 x - 2}{x^{2} - 4}$

Passaggio 1.1.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 2$ .

$\frac{x + 8}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{3 x - 2}{x^{2} - 4}$

Passaggio 1.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 1.2.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{x + 8}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{3 x - 2}{x^{2} - 2^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$\frac{x + 8}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{3 x - 2}{(x + 2) (x - 2)}$

Passaggio 2

Per scrivere $\frac{x + 8}{{(x - 2)}^{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{x + 8}{{(x - 2)}^{2}} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} + \frac{3 x - 2}{(x + 2) (x - 2)}$

Passaggio 3

Per scrivere $\frac{3 x - 2}{(x + 2) (x - 2)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x + 8}{{(x - 2)}^{2}} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} + \frac{3 x - 2}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x - 2}{x - 2}$

Passaggio 4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(x + 2) {(x - 2)}^{2}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 4.1

Moltiplica $\frac{x + 8}{{(x - 2)}^{2}}$ per $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{(x + 8) (x + 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)} + \frac{3 x - 2}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x - 2}{x - 2}$

Passaggio 4.2

Moltiplica $\frac{3 x - 2}{(x + 2) (x - 2)}$ per $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{(x + 8) (x + 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)} + \frac{(3 x - 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2) (x - 2)}$

Passaggio 4.3

Eleva $x - 2$ alla potenza di $1$ .

$\frac{(x + 8) (x + 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)} + \frac{(3 x - 2) (x - 2)}{(x + 2) ({(x - 2)}^{1} (x - 2))}$

Passaggio 4.4

Eleva $x - 2$ alla potenza di $1$ .

$\frac{(x + 8) (x + 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)} + \frac{(3 x - 2) (x - 2)}{(x + 2) ({(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{1})}$

Passaggio 4.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{(x + 8) (x + 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)} + \frac{(3 x - 2) (x - 2)}{(x + 2) {(x - 2)}^{1 + 1}}$

Passaggio 4.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{(x + 8) (x + 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)} + \frac{(3 x - 2) (x - 2)}{(x + 2) {(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 4.7

Riordina i fattori di $(x + 2) {(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{(x + 8) (x + 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)} + \frac{(3 x - 2) (x - 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Passaggio 5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{(x + 8) (x + 2) + (3 x - 2) (x - 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Passaggio 6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1

Espandi $(x + 8) (x + 2)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 6.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (x + 2) + 8 (x + 2) + (3 x - 2) (x - 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Passaggio 6.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2 + 8 (x + 2) + (3 x - 2) (x - 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Passaggio 6.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2 + 8 x + 8 \cdot 2 + (3 x - 2) (x - 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Passaggio 6.2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 2 + 8 x + 8 \cdot 2 + (3 x - 2) (x - 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Passaggio 6.2.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x + 8 x + 8 \cdot 2 + (3 x - 2) (x - 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $8$ per $2$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 8 x + 16 + (3 x - 2) (x - 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Passaggio 6.2.2

Somma $2 x$ e $8 x$ .

$\frac{x^{2} + 10 x + 16 + (3 x - 2) (x - 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Passaggio 6.3

Espandi $(3 x - 2) (x - 2)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 6.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} + 10 x + 16 + 3 x (x - 2) - 2 (x - 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Passaggio 6.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} + 10 x + 16 + 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 2 - 2 (x - 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Passaggio 6.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} + 10 x + 16 + 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Passaggio 6.4

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 6.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.4.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 6.4.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{x^{2} + 10 x + 16 + 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Passaggio 6.4.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{x^{2} + 10 x + 16 + 3 x^{2} + 3 x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Passaggio 6.4.1.2

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$\frac{x^{2} + 10 x + 16 + 3 x^{2} - 6 x - 2 x - 2 \cdot - 2}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Passaggio 6.4.1.3

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$\frac{x^{2} + 10 x + 16 + 3 x^{2} - 6 x - 2 x + 4}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Passaggio 6.4.2

Sottrai $2 x$ da $- 6 x$ .

$\frac{x^{2} + 10 x + 16 + 3 x^{2} - 8 x + 4}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Passaggio 6.5

Somma $x^{2}$ e $3 x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} + 10 x + 16 - 8 x + 4}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Passaggio 6.6

Sottrai $8 x$ da $10 x$ .

$\frac{4 x^{2} + 2 x + 16 + 4}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Passaggio 6.7

Somma $16$ e $4$ .

$\frac{4 x^{2} + 2 x + 20}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Passaggio 6.8

Scomponi $2$ da $4 x^{2} + 2 x + 20$ .

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Passaggio 6.8.1

Scomponi $2$ da $4 x^{2}$ .

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 x + 20}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Passaggio 6.8.2

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 (x) + 20}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Passaggio 6.8.3

Scomponi $2$ da $20$ .

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 x + 2 \cdot 10}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Passaggio 6.8.4

Scomponi $2$ da $2 (2 x^{2}) + 2 x$ .

$\frac{2 (2 x^{2} + x) + 2 \cdot 10}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Passaggio 6.8.5

Scomponi $2$ da $2 (2 x^{2} + x) + 2 \cdot 10$ .

$\frac{2 (2 x^{2} + x + 10)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$