Algebra lineare Esempi

$y = m x + b$ , $- 1 = m x + 2$

Passaggio 1

Sposta tutti i termini contenenti variabili sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 1.1

Sottrai $m x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y - m x = b, - 1 = m x + 2$

Passaggio 1.2

Sottrai $b$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y - m x - b = 0, - 1 = m x + 2$

Passaggio 2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y - m x - b = 0, 0 = m x + 2 + 1$

Passaggio 3

Sottrai $m x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y - m x - b = 0, - m x = 2 + 1$

Passaggio 4

Scrivi il sistema di equazioni sotto forma di matrice.

$[\begin{array}{c} - 1 & - 1 x & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 x & 0 & 0 & 2 + 1 \end{array}]$

Passaggio 5

Trova la forma a scalini ridotta per righe.

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Passaggio 5.1

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & - x & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 x & 0 & 0 & 2 + 1 \end{array}]$

Passaggio 5.2

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & - x & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - x & 0 & 0 & 2 + 1 \end{array}]$

Passaggio 5.3

Somma $2$ e $1$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & - x & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - x & 0 & 0 & 3 \end{array}]$

Passaggio 5.4

Moltiplica ogni elemento di $R_{1}$ per $- 1$ per rendere il dato in $1, 1$ un $1$ .

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Passaggio 5.4.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{1}$ per $- 1$ per rendere il dato in $1, 1$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - - x & - 0 & - 1 \cdot 1 & - 0 \\ 0 & - x & 0 & 0 & 3 \end{array}]$

Passaggio 5.4.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & x & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - x & 0 & 0 & 3 \end{array}]$

Passaggio 5.5

Moltiplica ogni elemento di $R_{2}$ per $- \frac{1}{x}$ per rendere il dato in $2, 2$ un $1$ .

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Passaggio 5.5.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{2}$ per $- \frac{1}{x}$ per rendere il dato in $2, 2$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & x & 0 & - 1 & 0 \\ - \frac{1}{x} \cdot 0 & - \frac{1}{x} (- x) & - \frac{1}{x} \cdot 0 & - \frac{1}{x} \cdot 0 & - \frac{1}{x} \cdot 3 \end{array}]$

Passaggio 5.5.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & x & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & - \frac{3}{x} \end{array}]$

Passaggio 5.6

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} - x R_{2}$ per rendere il dato in $1, 2$ un $0$ .

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Passaggio 5.6.1

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} - x R_{2}$ per rendere il dato in $1, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - x \cdot 0 & x - x \cdot 1 & 0 - x \cdot 0 & - 1 - x \cdot 0 & 0 - x (- \frac{3}{x}) \\ 0 & 1 & 0 & 0 & - \frac{3}{x} \end{array}]$

Passaggio 5.6.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & - \frac{3}{x} \end{array}]$

Passaggio 6

Usa la matrice risultante per determinare le soluzioni finali del sistema di equazioni.

$b - y = 3$

$m = - \frac{3}{x}$

Passaggio 7

Somma $y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$b = 3 + y$

$m = - \frac{3}{x}$

Passaggio 8

La soluzione è l'insieme delle coppie ordinate che rendono il sistema vero.

$(3 + y, - \frac{3}{x}, x, y)$

Passaggio 9

Scomponi un vettore soluzione riorganizzando ogni equazione rappresentata a scala ridotta per righe della matrice aumentata, risolvendo per la variabile dipendente in ogni riga che dà l'uguaglianza del vettore.

$X = [\begin{array}{c} b \\ m \\ x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 3 + y \\ - \frac{3}{x} \\ x \\ y \end{array}]$