Algebra lineare Esempi

$x + y = 9$ , $x - \frac{1}{2} y = 3$

Passaggio 1

Trova $A X = B$ dal sistema di equazioni.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - \frac{1}{2} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 9 \\ 3 \end{array}]$

Passaggio 2

Trova l'inverso della matrice del coefficiente.

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Passaggio 2.1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Passaggio 2.2

Find the determinant.

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Passaggio 2.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 (- \frac{1}{2}) - 1 \cdot 1$

Passaggio 2.2.2

Semplifica il determinante.

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Passaggio 2.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.2.2.1.1

Moltiplica $- \frac{1}{2}$ per $1$ .

$- \frac{1}{2} - 1 \cdot 1$

Passaggio 2.2.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{1}{2} - 1$

Passaggio 2.2.2.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 2.2.2.3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Passaggio 2.2.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}$

Passaggio 2.2.2.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.2.2.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{- 1 - 2}{2}$

Passaggio 2.2.2.5.2

Sottrai $2$ da $- 1$ .

$\frac{- 3}{2}$

Passaggio 2.2.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3}{2}$

Passaggio 2.3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Passaggio 2.4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- \frac{3}{2}} [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & - 1 \\ - 1 & 1 \end{array}]$

Passaggio 2.5

Elimina il fattore comune di $1$ e $- 1$ .

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Passaggio 2.5.1

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{- \frac{3}{2}} [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & - 1 \\ - 1 & 1 \end{array}]$

Passaggio 2.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{\frac{3}{2}} [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & - 1 \\ - 1 & 1 \end{array}]$

Passaggio 2.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- (1 (\frac{2}{3})) [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & - 1 \\ - 1 & 1 \end{array}]$

Passaggio 2.7

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $1$ .

$- \frac{2}{3} [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & - 1 \\ - 1 & 1 \end{array}]$

Passaggio 2.8

Moltiplica $- \frac{2}{3}$ per ogni elemento della matrice.

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} (- \frac{1}{2}) & - \frac{2}{3} \cdot - 1 \\ - \frac{2}{3} \cdot - 1 & - \frac{2}{3} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 2.9

Semplifica ogni elemento nella matrice.

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Passaggio 2.9.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.9.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2}{3}$ nel numeratore.

$[\begin{array}{c} \frac{- 2}{3} (- \frac{1}{2}) & - \frac{2}{3} \cdot - 1 \\ - \frac{2}{3} \cdot - 1 & - \frac{2}{3} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 2.9.1.2

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2}$ nel numeratore.

$[\begin{array}{c} \frac{- 2}{3} \cdot \frac{- 1}{2} & - \frac{2}{3} \cdot - 1 \\ - \frac{2}{3} \cdot - 1 & - \frac{2}{3} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 2.9.1.3

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2 (- 1)}{3} \cdot \frac{- 1}{2} & - \frac{2}{3} \cdot - 1 \\ - \frac{2}{3} \cdot - 1 & - \frac{2}{3} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 2.9.1.4

Elimina il fattore comune.

$[\begin{array}{c} \frac{2 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{- 1}{2} & - \frac{2}{3} \cdot - 1 \\ - \frac{2}{3} \cdot - 1 & - \frac{2}{3} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 2.9.1.5

Riscrivi l'espressione.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{3} \cdot - 1 & - \frac{2}{3} \cdot - 1 \\ - \frac{2}{3} \cdot - 1 & - \frac{2}{3} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 2.9.2

$\frac{- 1}{3}$ e $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- - 1}{3} & - \frac{2}{3} \cdot - 1 \\ - \frac{2}{3} \cdot - 1 & - \frac{2}{3} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 2.9.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{3} & - \frac{2}{3} \cdot - 1 \\ - \frac{2}{3} \cdot - 1 & - \frac{2}{3} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 2.9.4

Moltiplica $- \frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Passaggio 2.9.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{3} & 1 (\frac{2}{3}) \\ - \frac{2}{3} \cdot - 1 & - \frac{2}{3} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 2.9.4.2

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \\ - \frac{2}{3} \cdot - 1 & - \frac{2}{3} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 2.9.5

Moltiplica $- \frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Passaggio 2.9.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \\ 1 (\frac{2}{3}) & - \frac{2}{3} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 2.9.5.2

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} & - \frac{2}{3} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 2.9.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} & - \frac{2}{3} \end{array}]$

Passaggio 3

Moltiplica a sinistra entrambi i lati dell'equazione della matrice per la matrice inversa.

$([\begin{array}{c} \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} & - \frac{2}{3} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - \frac{1}{2} \end{array}]) \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} & - \frac{2}{3} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 9 \\ 3 \end{array}]$

Passaggio 4

Qualsiasi matrice moltiplicata per il suo inverso è sempre uguale a $1$ . $A \cdot A^{- 1} = 1$ .

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} & - \frac{2}{3} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 9 \\ 3 \end{array}]$

Passaggio 5

Moltiplica $[\begin{array}{c} \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} & - \frac{2}{3} \end{array}] [\begin{array}{c} 9 \\ 3 \end{array}]$ .

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Passaggio 5.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $2 \times 2$ and the second matrix is $2 \times 1$ .

Passaggio 5.2

Moltiplica ogni riga nella prima matrice per ogni colonna nella seconda matrice.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{3} \cdot 9 + \frac{2}{3} \cdot 3 \\ \frac{2}{3} \cdot 9 - \frac{2}{3} \cdot 3 \end{array}]$

Passaggio 5.3

Semplifica ogni elemento della matrice moltiplicando tutte le espressioni.

$[\begin{array}{c} 5 \\ 4 \end{array}]$

Passaggio 6

Semplifica il lato destro e sinistro.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 5 \\ 4 \end{array}]$

Passaggio 7

Trova la soluzione.

$x = 5$

$y = 4$