Algebra lineare Esempi

a [\begin{matrix} 1 - 2 \end{matrix}] + b [\begin{matrix} 3 - 2 \end{matrix}] = [\begin{matrix} - 2 1 \end{matrix}]

$a [\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \end{array}] + b [\begin{array}{c} 3 \\ - 2 \end{array}] = [\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \end{array}]$

Passaggio 1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica

a

$a$ per ogni elemento della matrice.

[\begin{matrix} a \cdot 1 a \cdot - 2 \end{matrix}] + b [\begin{matrix} 3 - 2 \end{matrix}] = [\begin{matrix} - 2 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} a \cdot 1 \\ a \cdot - 2 \end{array}] + b [\begin{array}{c} 3 \\ - 2 \end{array}] = [\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \end{array}]$

Passaggio 1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Moltiplica

a

$a$ per

1

$1$ .

[\begin{matrix} a a \cdot - 2 \end{matrix}] + b [\begin{matrix} 3 - 2 \end{matrix}] = [\begin{matrix} - 2 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} a \\ a \cdot - 2 \end{array}] + b [\begin{array}{c} 3 \\ - 2 \end{array}] = [\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \end{array}]$

Passaggio 1.2.2

Sposta

- 2

$- 2$ alla sinistra di

a

$a$ .

[\begin{matrix} a - 2 a \end{matrix}] + b [\begin{matrix} 3 - 2 \end{matrix}] = [\begin{matrix} - 2 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} a \\ - 2 a \end{array}] + b [\begin{array}{c} 3 \\ - 2 \end{array}] = [\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \end{array}]$

[\begin{matrix} a - 2 a \end{matrix}] + b [\begin{matrix} 3 - 2 \end{matrix}] = [\begin{matrix} - 2 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} a \\ - 2 a \end{array}] + b [\begin{array}{c} 3 \\ - 2 \end{array}] = [\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \end{array}]$

Passaggio 1.3

Moltiplica

b

$b$ per ogni elemento della matrice.

[\begin{matrix} a - 2 a \end{matrix}] + [\begin{matrix} b \cdot 3 b \cdot - 2 \end{matrix}] = [\begin{matrix} - 2 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} a \\ - 2 a \end{array}] + [\begin{array}{c} b \cdot 3 \\ b \cdot - 2 \end{array}] = [\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \end{array}]$

Passaggio 1.4

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Sposta

3

$3$ alla sinistra di

b

$b$ .

[\begin{matrix} a - 2 a \end{matrix}] + [\begin{matrix} 3 b b \cdot - 2 \end{matrix}] = [\begin{matrix} - 2 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} a \\ - 2 a \end{array}] + [\begin{array}{c} 3 b \\ b \cdot - 2 \end{array}] = [\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \end{array}]$

Passaggio 1.4.2

Sposta

- 2

$- 2$ alla sinistra di

b

$b$ .

[\begin{matrix} a - 2 a \end{matrix}] + [\begin{matrix} 3 b - 2 b \end{matrix}] = [\begin{matrix} - 2 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} a \\ - 2 a \end{array}] + [\begin{array}{c} 3 b \\ - 2 b \end{array}] = [\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \end{array}]$

[\begin{matrix} a - 2 a \end{matrix}] + [\begin{matrix} 3 b - 2 b \end{matrix}] = [\begin{matrix} - 2 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} a \\ - 2 a \end{array}] + [\begin{array}{c} 3 b \\ - 2 b \end{array}] = [\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \end{array}]$

[\begin{matrix} a - 2 a \end{matrix}] + [\begin{matrix} 3 b - 2 b \end{matrix}] = [\begin{matrix} - 2 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} a \\ - 2 a \end{array}] + [\begin{array}{c} 3 b \\ - 2 b \end{array}] = [\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \end{array}]$

Passaggio 2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

[\begin{matrix} a + 3 b - 2 a - 2 b \end{matrix}] = [\begin{matrix} - 2 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} a + 3 b \\ - 2 a - 2 b \end{array}] = [\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \end{array}]$

Passaggio 3

Write as a linear system of equations.

a + 3 b = - 2

$a + 3 b = - 2$

- 2 a - 2 b = 1

$- 2 a - 2 b = 1$

Passaggio 4

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sottrai

3 b

$3 b$ da entrambi i lati dell'equazione.

a = - 2 - 3 b

$a = - 2 - 3 b$

- 2 a - 2 b = 1

$- 2 a - 2 b = 1$

Passaggio 4.2

Sostituisci tutte le occorrenze di

a

$a$ con

- 2 - 3 b

$- 2 - 3 b$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di

a

$a$ in

- 2 a - 2 b = 1

$- 2 a - 2 b = 1$ con

- 2 - 3 b

$- 2 - 3 b$ .

- 2 (- 2 - 3 b) - 2 b = 1

$- 2 (- 2 - 3 b) - 2 b = 1$

a = - 2 - 3 b

$a = - 2 - 3 b$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica

- 2 (- 2 - 3 b) - 2 b

$- 2 (- 2 - 3 b) - 2 b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

- 2 \cdot - 2 - 2 (- 3 b) - 2 b = 1

$- 2 \cdot - 2 - 2 (- 3 b) - 2 b = 1$

a = - 2 - 3 b

$a = - 2 - 3 b$

Passaggio 4.2.2.1.1.2

Moltiplica

- 2

$- 2$ per

- 2

$- 2$ .

4 - 2 (- 3 b) - 2 b = 1

$4 - 2 (- 3 b) - 2 b = 1$

a = - 2 - 3 b

$a = - 2 - 3 b$

Passaggio 4.2.2.1.1.3

Moltiplica

- 3

$- 3$ per

- 2

$- 2$ .

4 + 6 b - 2 b = 1

$4 + 6 b - 2 b = 1$

a = - 2 - 3 b

$a = - 2 - 3 b$

4 + 6 b - 2 b = 1

$4 + 6 b - 2 b = 1$

a = - 2 - 3 b

$a = - 2 - 3 b$

Passaggio 4.2.2.1.2

Sottrai

2 b

$2 b$ da

6 b

$6 b$ .

4 + 4 b = 1

$4 + 4 b = 1$

a = - 2 - 3 b

$a = - 2 - 3 b$

4 + 4 b = 1

$4 + 4 b = 1$

a = - 2 - 3 b

$a = - 2 - 3 b$

4 + 4 b = 1

$4 + 4 b = 1$

a = - 2 - 3 b

$a = - 2 - 3 b$

4 + 4 b = 1

$4 + 4 b = 1$

a = - 2 - 3 b

$a = - 2 - 3 b$

Passaggio 4.3

Risolvi per

b

$b$ in

4 + 4 b = 1

$4 + 4 b = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sposta tutti i termini non contenenti

b

$b$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1

Sottrai

4

$4$ da entrambi i lati dell'equazione.

4 b = 1 - 4

$4 b = 1 - 4$

a = - 2 - 3 b

$a = - 2 - 3 b$

Passaggio 4.3.1.2

Sottrai

4

$4$ da

1

$1$ .

4 b = - 3

$4 b = - 3$

a = - 2 - 3 b

$a = - 2 - 3 b$

4 b = - 3

$4 b = - 3$

a = - 2 - 3 b

$a = - 2 - 3 b$

Passaggio 4.3.2

Dividi per

4

$4$ ciascun termine in

4 b = - 3

$4 b = - 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Dividi per

4

$4$ ciascun termine in

4 b = - 3

$4 b = - 3$ .

\frac{4 b}{4} = \frac{- 3}{4}

$\frac{4 b}{4} = \frac{- 3}{4}$

a = - 2 - 3 b

$a = - 2 - 3 b$

Passaggio 4.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di

4

$4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 b}{4} = \frac{- 3}{4}$

$a = - 2 - 3 b$

Passaggio 4.3.2.2.1.2

Dividi

$b$ per

$1$ .

$b = \frac{- 3}{4}$

$a = - 2 - 3 b$

$b = \frac{- 3}{4}$

$a = - 2 - 3 b$

$b = \frac{- 3}{4}$

$a = - 2 - 3 b$

Passaggio 4.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$b = - \frac{3}{4}$

$a = - 2 - 3 b$

$b = - \frac{3}{4}$

$a = - 2 - 3 b$

$b = - \frac{3}{4}$

$a = - 2 - 3 b$

$b = - \frac{3}{4}$

$a = - 2 - 3 b$

Passaggio 4.4

Sostituisci tutte le occorrenze di

$b$ con

$- \frac{3}{4}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di

$b$ in

$a = - 2 - 3 b$ con

$- \frac{3}{4}$ .

$a = - 2 - 3 (- \frac{3}{4})$

$b = - \frac{3}{4}$

Passaggio 4.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

Semplifica

$- 2 - 3 (- \frac{3}{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1.1

Moltiplica

$- 3 (- \frac{3}{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1.1.1

Moltiplica

$- 1$ per

$- 3$ .

$a = - 2 + 3 (\frac{3}{4})$

$b = - \frac{3}{4}$

Passaggio 4.4.2.1.1.2

$3$ e

$\frac{3}{4}$ .

$a = - 2 + \frac{3 \cdot 3}{4}$

$b = - \frac{3}{4}$

Passaggio 4.4.2.1.1.3

Moltiplica

$3$ per

$3$ .

$a = - 2 + \frac{9}{4}$

$b = - \frac{3}{4}$

$a = - 2 + \frac{9}{4}$

$b = - \frac{3}{4}$

Passaggio 4.4.2.1.2

Per scrivere

$- 2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

$\frac{4}{4}$ .

$a = - 2 \cdot \frac{4}{4} + \frac{9}{4}$

$b = - \frac{3}{4}$

Passaggio 4.4.2.1.3

$- 2$ e

$\frac{4}{4}$ .

$a = \frac{- 2 \cdot 4}{4} + \frac{9}{4}$

$b = - \frac{3}{4}$

Passaggio 4.4.2.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$a = \frac{- 2 \cdot 4 + 9}{4}$

$b = - \frac{3}{4}$

Passaggio 4.4.2.1.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1.5.1

Moltiplica

$- 2$ per

$4$ .

$a = \frac{- 8 + 9}{4}$

$b = - \frac{3}{4}$

Passaggio 4.4.2.1.5.2

Somma

$- 8$ e

$9$ .

$a = \frac{1}{4}$

$b = - \frac{3}{4}$

$a = \frac{1}{4}$

$b = - \frac{3}{4}$

$a = \frac{1}{4}$

$b = - \frac{3}{4}$

$a = \frac{1}{4}$

$b = - \frac{3}{4}$

$a = \frac{1}{4}$

$b = - \frac{3}{4}$

Passaggio 4.5

Elenca tutte le soluzioni.

$a = \frac{1}{4}, b = - \frac{3}{4}$