Algebra lineare Esempi

$8 y^{2} = 8 - x^{2}$

Passaggio 1

Trova la forma standard dell'ellissi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sposta tutti i termini contenenti variabili sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Somma $x^{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$8 y^{2} + x^{2} = 8$

Passaggio 1.1.2

Riordina $8 y^{2}$ e $x^{2}$ .

$x^{2} + 8 y^{2} = 8$

Passaggio 1.2

Dividi per $8$ ciascun termine per rendere il lato destro uguale a uno.

$\frac{x^{2}}{8} + \frac{8 y^{2}}{8} = \frac{8}{8}$

Passaggio 1.3

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{x^{2}}{8} + y^{2} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'ellisse. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare il centro e gli assi minore e maggiore dell'ellissi.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa ellissi a quelli della forma standard. La variabile $a$ rappresenta il raggio dell'asse maggiore dell'ellissi, $b$ rappresenta il raggio dell'asse minore dell'ellissi, $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine e $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine.

$a = 2 \sqrt{2}$

$b = 1$

$k = 0$

$h = 0$

Passaggio 4

Il centro di un'ellissi segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci con i valori di $h$ e $k$ .

$(0, 0)$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'ellissi utilizzando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(2 \sqrt{2})}^{2} - {(1)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Applica la regola del prodotto a $2 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{2^{2} {\sqrt{2}}^{2} - {(1)}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{4 {\sqrt{2}}^{2} - {(1)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(1)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(1)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {(1)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {(1)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{4 \cdot 2^{1} - {(1)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.5

Calcola l'esponente.

$\sqrt{4 \cdot 2 - {(1)}^{2}}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\sqrt{8 - {(1)}^{2}}$

Passaggio 5.3.3.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\sqrt{8 - 1 \cdot 1}$

Passaggio 5.3.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\sqrt{8 - 1}$

Passaggio 5.3.3.4

Sottrai $1$ da $8$ .

$\sqrt{7}$

Passaggio 6

Trova i vertici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'ellissi sommando $a$ a $h$ .

$(h + a, k)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(0 + 2 \sqrt{2}, 0)$

Passaggio 6.3

Semplifica.

$(2 \sqrt{2}, 0)$

Passaggio 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Passaggio 6.5

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(0 - (2 \sqrt{2}), 0)$

Passaggio 6.6

Semplifica.

$(- 2 \sqrt{2}, 0)$

Passaggio 6.7

Le ellissi hanno due vertici.

${Vertex}_{1}$ : $(2 \sqrt{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 2 \sqrt{2}, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(2 \sqrt{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 2 \sqrt{2}, 0)$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'ellissi sommando $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(0 + \sqrt{7}, 0)$

Passaggio 7.3

Semplifica.

$(\sqrt{7}, 0)$

Passaggio 7.4

Si può trovare il secondo fuoco di un'ellissi sottraendo $c$ da $h$ .

$(h - c, k)$

Passaggio 7.5

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(0 - (\sqrt{7}), 0)$

Passaggio 7.6

Semplifica.

$(- \sqrt{7}, 0)$

Passaggio 7.7

Le ellissi hanno due fuochi.

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{7}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{7}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{7}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{7}, 0)$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ all'interno della formula.

$\frac{\sqrt{{(2 \sqrt{2})}^{2} - {(1)}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Applica la regola del prodotto a $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 1^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{4 {\sqrt{2}}^{2} - 1^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3.1.3

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3.1.3.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3.1.3.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 1^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3.1.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 1^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3.1.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2^{1} - 1^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3.1.3.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2 - 1^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3.1.4

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{\sqrt{8 - 1^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3.1.5

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{\sqrt{8 - 1 \cdot 1}}{2 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3.1.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{\sqrt{8 - 1}}{2 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3.1.7

Sottrai $1$ da $8$ .

$\frac{\sqrt{7}}{2 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{7}}{2 \sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{7}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 8.3.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{7}}{2 \sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3.3.2

Sposta $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Passaggio 8.3.3.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Passaggio 8.3.3.4

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Passaggio 8.3.3.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 8.3.3.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 8.3.3.7

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 8.3.3.7.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 8.3.3.7.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 8.3.3.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 8.3.3.7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

Passaggio 8.3.3.7.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 8.3.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.4.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{\sqrt{7 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 8.3.4.2

Moltiplica $7$ per $2$ .

$\frac{\sqrt{14}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 8.3.5

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{\sqrt{14}}{4}$

Passaggio 9

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'ellissi.

Centro: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(2 \sqrt{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 2 \sqrt{2}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{7}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{7}, 0)$

Eccentricità: $\frac{\sqrt{14}}{4}$

Passaggio 10