Algebra lineare Esempi

2 x - 5 y + 5 z = 28

$2 x - 5 y + 5 z = 28$ ,

- 3 x - 2 y + 15 z = 35

$- 3 x - 2 y + 15 z = 35$ ,

- 3 x + 6 y - 5 z = 33

$- 3 x + 6 y - 5 z = 33$

Passaggio 1

Trova

A X = B

$A X = B$ dal sistema di equazioni.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & - 5 & 5 - 3 & - 2 & 15 - 3 & 6 & - 5 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ \cdot ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x y z \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 283533 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 2 & - 5 & 5 \\ - 3 & - 2 & 15 \\ - 3 & 6 & - 5 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 28 \\ 35 \\ 33 \end{array}]$

Passaggio 2

Trova l'inverso della matrice del coefficiente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Find the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Choose the row or column with the most

0

$0$ elements. If there are no

0

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

1

$1$ by its cofactor and add.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Consider the corresponding sign chart.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 2.1.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

-

$-$ position on the sign chart.

Passaggio 2.1.1.3

The minor for

a_{11}

$a_{11}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

1

$1$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 2 & 15 6 & - 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 2 & 15 \\ 6 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 2.1.1.4

Multiply element

a_{11}

$a_{11}$ by its cofactor.

2 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 2 & 15 6 & - 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$2 | \begin{array}{c} - 2 & 15 \\ 6 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 2.1.1.5

The minor for

a_{12}

$a_{12}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

2

$2$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & 15 - 3 & - 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 3 & 15 \\ - 3 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 2.1.1.6

Multiply element

a_{12}

$a_{12}$ by its cofactor.

5 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & 15 - 3 & - 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$5 | \begin{array}{c} - 3 & 15 \\ - 3 & - 5 \end{array} |$

Passaggio 2.1.1.7

The minor for

a_{13}

$a_{13}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

3

$3$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & - 2 - 3 & 6 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 3 & - 2 \\ - 3 & 6 \end{array} |$

Passaggio 2.1.1.8

Multiply element

a_{13}

$a_{13}$ by its cofactor.

5 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & - 2 - 3 & 6 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$5 | \begin{array}{c} - 3 & - 2 \\ - 3 & 6 \end{array} |$

Passaggio 2.1.1.9

Add the terms together.

2 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 2 & 15 6 & - 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 5 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & 15 - 3 & - 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 5 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & - 2 - 3 & 6 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$2 | \begin{array}{c} - 2 & 15 \\ 6 & - 5 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} - 3 & 15 \\ - 3 & - 5 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} - 3 & - 2 \\ - 3 & 6 \end{array} |$

2 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 2 & 15 6 & - 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 5 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & 15 - 3 & - 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 5 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & - 2 - 3 & 6 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$2 | \begin{array}{c} - 2 & 15 \\ 6 & - 5 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} - 3 & 15 \\ - 3 & - 5 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} - 3 & - 2 \\ - 3 & 6 \end{array} |$

Passaggio 2.1.2

Calcola

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 2 & 15 6 & - 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 2 & 15 \\ 6 & - 5 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ usando la formula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

2 (- 2 \cdot - 5 - 6 \cdot 15) + 5 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & 15 - 3 & - 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 5 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & - 2 - 3 & 6 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$2 (- 2 \cdot - 5 - 6 \cdot 15) + 5 | \begin{array}{c} - 3 & 15 \\ - 3 & - 5 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} - 3 & - 2 \\ - 3 & 6 \end{array} |$

Passaggio 2.1.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1.1

Moltiplica

- 2

$- 2$ per

- 5

$- 5$ .

2 (10 - 6 \cdot 15) + 5 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & 15 - 3 & - 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 5 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & - 2 - 3 & 6 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$2 (10 - 6 \cdot 15) + 5 | \begin{array}{c} - 3 & 15 \\ - 3 & - 5 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} - 3 & - 2 \\ - 3 & 6 \end{array} |$

Passaggio 2.1.2.2.1.2

Moltiplica

- 6

$- 6$ per

15

$15$ .

2 (10 - 90) + 5 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & 15 - 3 & - 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 5 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & - 2 - 3 & 6 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$2 (10 - 90) + 5 | \begin{array}{c} - 3 & 15 \\ - 3 & - 5 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} - 3 & - 2 \\ - 3 & 6 \end{array} |$

2 (10 - 90) + 5 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & 15 - 3 & - 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 5 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & - 2 - 3 & 6 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$2 (10 - 90) + 5 | \begin{array}{c} - 3 & 15 \\ - 3 & - 5 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} - 3 & - 2 \\ - 3 & 6 \end{array} |$

Passaggio 2.1.2.2.2

Sottrai

90

$90$ da

10

$10$ .

2 \cdot - 80 + 5 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & 15 - 3 & - 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 5 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & - 2 - 3 & 6 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$2 \cdot - 80 + 5 | \begin{array}{c} - 3 & 15 \\ - 3 & - 5 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} - 3 & - 2 \\ - 3 & 6 \end{array} |$

2 \cdot - 80 + 5 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & 15 - 3 & - 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 5 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & - 2 - 3 & 6 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$2 \cdot - 80 + 5 | \begin{array}{c} - 3 & 15 \\ - 3 & - 5 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} - 3 & - 2 \\ - 3 & 6 \end{array} |$

2 \cdot - 80 + 5 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & 15 - 3 & - 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 5 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & - 2 - 3 & 6 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$2 \cdot - 80 + 5 | \begin{array}{c} - 3 & 15 \\ - 3 & - 5 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} - 3 & - 2 \\ - 3 & 6 \end{array} |$

Passaggio 2.1.3

Calcola

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & 15 - 3 & - 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 3 & 15 \\ - 3 & - 5 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ usando la formula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

2 \cdot - 80 + 5 (- 3 \cdot - 5 - (- 3 \cdot 15)) + 5 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & - 2 - 3 & 6 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$2 \cdot - 80 + 5 (- 3 \cdot - 5 - (- 3 \cdot 15)) + 5 | \begin{array}{c} - 3 & - 2 \\ - 3 & 6 \end{array} |$

Passaggio 2.1.3.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.2.1.1

Moltiplica

- 3

$- 3$ per

- 5

$- 5$ .

2 \cdot - 80 + 5 (15 - (- 3 \cdot 15)) + 5 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & - 2 - 3 & 6 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$2 \cdot - 80 + 5 (15 - (- 3 \cdot 15)) + 5 | \begin{array}{c} - 3 & - 2 \\ - 3 & 6 \end{array} |$

Passaggio 2.1.3.2.1.2

Moltiplica

- (- 3 \cdot 15)

$- (- 3 \cdot 15)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.2.1.2.1

Moltiplica

- 3

$- 3$ per

15

$15$ .

2 \cdot - 80 + 5 (15 - - 45) + 5 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & - 2 - 3 & 6 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$2 \cdot - 80 + 5 (15 - - 45) + 5 | \begin{array}{c} - 3 & - 2 \\ - 3 & 6 \end{array} |$

Passaggio 2.1.3.2.1.2.2

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

- 45

$- 45$ .

2 \cdot - 80 + 5 (15 + 45) + 5 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & - 2 - 3 & 6 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$2 \cdot - 80 + 5 (15 + 45) + 5 | \begin{array}{c} - 3 & - 2 \\ - 3 & 6 \end{array} |$

2 \cdot - 80 + 5 (15 + 45) + 5 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & - 2 - 3 & 6 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$2 \cdot - 80 + 5 (15 + 45) + 5 | \begin{array}{c} - 3 & - 2 \\ - 3 & 6 \end{array} |$

2 \cdot - 80 + 5 (15 + 45) + 5 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & - 2 - 3 & 6 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$2 \cdot - 80 + 5 (15 + 45) + 5 | \begin{array}{c} - 3 & - 2 \\ - 3 & 6 \end{array} |$

Passaggio 2.1.3.2.2

Somma

15

$15$ e

45

$45$ .

2 \cdot - 80 + 5 \cdot 60 + 5 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & - 2 - 3 & 6 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$2 \cdot - 80 + 5 \cdot 60 + 5 | \begin{array}{c} - 3 & - 2 \\ - 3 & 6 \end{array} |$

2 \cdot - 80 + 5 \cdot 60 + 5 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & - 2 - 3 & 6 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$2 \cdot - 80 + 5 \cdot 60 + 5 | \begin{array}{c} - 3 & - 2 \\ - 3 & 6 \end{array} |$

2 \cdot - 80 + 5 \cdot 60 + 5 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & - 2 - 3 & 6 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$2 \cdot - 80 + 5 \cdot 60 + 5 | \begin{array}{c} - 3 & - 2 \\ - 3 & 6 \end{array} |$

Passaggio 2.1.4

Calcola

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & - 2 - 3 & 6 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 3 & - 2 \\ - 3 & 6 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ usando la formula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

2 \cdot - 80 + 5 \cdot 60 + 5 (- 3 \cdot 6 - (- 3 \cdot - 2))

$2 \cdot - 80 + 5 \cdot 60 + 5 (- 3 \cdot 6 - (- 3 \cdot - 2))$

Passaggio 2.1.4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.2.1.1

Moltiplica

- 3

$- 3$ per

6

$6$ .

2 \cdot - 80 + 5 \cdot 60 + 5 (- 18 - (- 3 \cdot - 2))

$2 \cdot - 80 + 5 \cdot 60 + 5 (- 18 - (- 3 \cdot - 2))$

Passaggio 2.1.4.2.1.2

Moltiplica

- (- 3 \cdot - 2)

$- (- 3 \cdot - 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.2.1.2.1

Moltiplica

- 3

$- 3$ per

- 2

$- 2$ .

2 \cdot - 80 + 5 \cdot 60 + 5 (- 18 - 1 \cdot 6)

$2 \cdot - 80 + 5 \cdot 60 + 5 (- 18 - 1 \cdot 6)$

Passaggio 2.1.4.2.1.2.2

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

6

$6$ .

2 \cdot - 80 + 5 \cdot 60 + 5 (- 18 - 6)

$2 \cdot - 80 + 5 \cdot 60 + 5 (- 18 - 6)$

2 \cdot - 80 + 5 \cdot 60 + 5 (- 18 - 6)

$2 \cdot - 80 + 5 \cdot 60 + 5 (- 18 - 6)$

2 \cdot - 80 + 5 \cdot 60 + 5 (- 18 - 6)

$2 \cdot - 80 + 5 \cdot 60 + 5 (- 18 - 6)$

Passaggio 2.1.4.2.2

Sottrai

6

$6$ da

- 18

$- 18$ .

2 \cdot - 80 + 5 \cdot 60 + 5 \cdot - 24

$2 \cdot - 80 + 5 \cdot 60 + 5 \cdot - 24$

2 \cdot - 80 + 5 \cdot 60 + 5 \cdot - 24

$2 \cdot - 80 + 5 \cdot 60 + 5 \cdot - 24$

2 \cdot - 80 + 5 \cdot 60 + 5 \cdot - 24

$2 \cdot - 80 + 5 \cdot 60 + 5 \cdot - 24$

Passaggio 2.1.5

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1.1

Moltiplica

2

$2$ per

- 80

$- 80$ .

- 160 + 5 \cdot 60 + 5 \cdot - 24

$- 160 + 5 \cdot 60 + 5 \cdot - 24$

Passaggio 2.1.5.1.2

Moltiplica

5

$5$ per

60

$60$ .

- 160 + 300 + 5 \cdot - 24

$- 160 + 300 + 5 \cdot - 24$

Passaggio 2.1.5.1.3

Moltiplica

5

$5$ per

- 24

$- 24$ .

- 160 + 300 - 120

$- 160 + 300 - 120$

- 160 + 300 - 120

$- 160 + 300 - 120$

Passaggio 2.1.5.2

Somma

- 160

$- 160$ e

300

$300$ .

140 - 120

$140 - 120$

Passaggio 2.1.5.3

Sottrai

120

$120$ da

140

$140$ .

20

$20$

20

$20$

20

$20$

Passaggio 2.2

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Passaggio 2.3

Set up a

3 \times 6

$3 \times 6$ matrix where the left half is the original matrix and the right half is its identity matrix.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & - 5 & 5 & 1 & 0 & 0 - 3 & - 2 & 15 & 0 & 1 & 0 - 3 & 6 & - 5 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 2 & - 5 & 5 & 1 & 0 & 0 \\ - 3 & - 2 & 15 & 0 & 1 & 0 \\ - 3 & 6 & - 5 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 2.4

Trova la forma ridotta a scala per righe di Echelon.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Multiply each element of

R_{1}

$R_{1}$ by

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ to make the entry at

1, 1

$1, 1$ a

1

$1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.1

Multiply each element of

R_{1}

$R_{1}$ by

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ to make the entry at

1, 1

$1, 1$ a

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{2}{2} & \frac{- 5}{2} & \frac{5}{2} & \frac{1}{2} & \frac{0}{2} & \frac{0}{2} - 3 & - 2 & 15 & 0 & 1 & 0 - 3 & 6 & - 5 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{- 5}{2} & \frac{5}{2} & \frac{1}{2} & \frac{0}{2} & \frac{0}{2} \\ - 3 & - 2 & 15 & 0 & 1 & 0 \\ - 3 & 6 & - 5 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 2.4.1.2

Semplifica

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ - 3 & - 2 & 15 & 0 & 1 & 0 \\ - 3 & 6 & - 5 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 2.4.2

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ - 3 + 3 \cdot 1 & - 2 + 3 (- \frac{5}{2}) & 15 + 3 (\frac{5}{2}) & 0 + 3 (\frac{1}{2}) & 1 + 3 \cdot 0 & 0 + 3 \cdot 0 \\ - 3 & 6 & - 5 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 2.4.2.2

Semplifica

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{19}{2} & \frac{45}{2} & \frac{3}{2} & 1 & 0 \\ - 3 & 6 & - 5 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 2.4.3

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} + 3 R_{1}$ to make the entry at

$3, 1$ a

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} + 3 R_{1}$ to make the entry at

$3, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{19}{2} & \frac{45}{2} & \frac{3}{2} & 1 & 0 \\ - 3 + 3 \cdot 1 & 6 + 3 (- \frac{5}{2}) & - 5 + 3 (\frac{5}{2}) & 0 + 3 (\frac{1}{2}) & 0 + 3 \cdot 0 & 1 + 3 \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 2.4.3.2

Semplifica

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{19}{2} & \frac{45}{2} & \frac{3}{2} & 1 & 0 \\ 0 & - \frac{3}{2} & \frac{5}{2} & \frac{3}{2} & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 2.4.4

Multiply each element of

$R_{2}$ by

$- \frac{2}{19}$ to make the entry at

$2, 2$ a

$1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.1

Multiply each element of

$R_{2}$ by

$- \frac{2}{19}$ to make the entry at

$2, 2$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ - \frac{2}{19} \cdot 0 & - \frac{2}{19} (- \frac{19}{2}) & - \frac{2}{19} \cdot \frac{45}{2} & - \frac{2}{19} \cdot \frac{3}{2} & - \frac{2}{19} \cdot 1 & - \frac{2}{19} \cdot 0 \\ 0 & - \frac{3}{2} & \frac{5}{2} & \frac{3}{2} & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 2.4.4.2

Semplifica

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{45}{19} & - \frac{3}{19} & - \frac{2}{19} & 0 \\ 0 & - \frac{3}{2} & \frac{5}{2} & \frac{3}{2} & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 2.4.5

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} + \frac{3}{2} R_{2}$ to make the entry at

$3, 2$ a

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.5.1

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} + \frac{3}{2} R_{2}$ to make the entry at

$3, 2$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{45}{19} & - \frac{3}{19} & - \frac{2}{19} & 0 \\ 0 + \frac{3}{2} \cdot 0 & - \frac{3}{2} + \frac{3}{2} \cdot 1 & \frac{5}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{45}{19}) & \frac{3}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{3}{19}) & 0 + \frac{3}{2} (- \frac{2}{19}) & 1 + \frac{3}{2} \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 2.4.5.2

Semplifica

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{45}{19} & - \frac{3}{19} & - \frac{2}{19} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{20}{19} & \frac{24}{19} & - \frac{3}{19} & 1 \end{array}]$

Passaggio 2.4.6

Multiply each element of

$R_{3}$ by

$- \frac{19}{20}$ to make the entry at

$3, 3$ a

$1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.1

Multiply each element of

$R_{3}$ by

$- \frac{19}{20}$ to make the entry at

$3, 3$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{45}{19} & - \frac{3}{19} & - \frac{2}{19} & 0 \\ - \frac{19}{20} \cdot 0 & - \frac{19}{20} \cdot 0 & - \frac{19}{20} (- \frac{20}{19}) & - \frac{19}{20} \cdot \frac{24}{19} & - \frac{19}{20} (- \frac{3}{19}) & - \frac{19}{20} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 2.4.6.2

Semplifica

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{45}{19} & - \frac{3}{19} & - \frac{2}{19} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{6}{5} & \frac{3}{20} & - \frac{19}{20} \end{array}]$

Passaggio 2.4.7

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} + \frac{45}{19} R_{3}$ to make the entry at

$2, 3$ a

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.7.1

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} + \frac{45}{19} R_{3}$ to make the entry at

$2, 3$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 + \frac{45}{19} \cdot 0 & 1 + \frac{45}{19} \cdot 0 & - \frac{45}{19} + \frac{45}{19} \cdot 1 & - \frac{3}{19} + \frac{45}{19} (- \frac{6}{5}) & - \frac{2}{19} + \frac{45}{19} \cdot \frac{3}{20} & 0 + \frac{45}{19} (- \frac{19}{20}) \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{6}{5} & \frac{3}{20} & - \frac{19}{20} \end{array}]$

Passaggio 2.4.7.2

Semplifica

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 3 & \frac{1}{4} & - \frac{9}{4} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{6}{5} & \frac{3}{20} & - \frac{19}{20} \end{array}]$

Passaggio 2.4.8

Perform the row operation

$R_{1} = R_{1} - \frac{5}{2} R_{3}$ to make the entry at

$1, 3$ a

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.8.1

Perform the row operation

$R_{1} = R_{1} - \frac{5}{2} R_{3}$ to make the entry at

$1, 3$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{5}{2} \cdot 0 & - \frac{5}{2} - \frac{5}{2} \cdot 0 & \frac{5}{2} - \frac{5}{2} \cdot 1 & \frac{1}{2} - \frac{5}{2} (- \frac{6}{5}) & 0 - \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{20} & 0 - \frac{5}{2} (- \frac{19}{20}) \\ 0 & 1 & 0 & - 3 & \frac{1}{4} & - \frac{9}{4} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{6}{5} & \frac{3}{20} & - \frac{19}{20} \end{array}]$

Passaggio 2.4.8.2

Semplifica

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{2} & 0 & \frac{7}{2} & - \frac{3}{8} & \frac{19}{8} \\ 0 & 1 & 0 & - 3 & \frac{1}{4} & - \frac{9}{4} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{6}{5} & \frac{3}{20} & - \frac{19}{20} \end{array}]$

Passaggio 2.4.9

Perform the row operation

$R_{1} = R_{1} + \frac{5}{2} R_{2}$ to make the entry at

$1, 2$ a

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.9.1

Perform the row operation

$R_{1} = R_{1} + \frac{5}{2} R_{2}$ to make the entry at

$1, 2$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{5}{2} \cdot 0 & - \frac{5}{2} + \frac{5}{2} \cdot 1 & 0 + \frac{5}{2} \cdot 0 & \frac{7}{2} + \frac{5}{2} \cdot - 3 & - \frac{3}{8} + \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{4} & \frac{19}{8} + \frac{5}{2} (- \frac{9}{4}) \\ 0 & 1 & 0 & - 3 & \frac{1}{4} & - \frac{9}{4} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{6}{5} & \frac{3}{20} & - \frac{19}{20} \end{array}]$

Passaggio 2.4.9.2

Semplifica

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 4 & \frac{1}{4} & - \frac{13}{4} \\ 0 & 1 & 0 & - 3 & \frac{1}{4} & - \frac{9}{4} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{6}{5} & \frac{3}{20} & - \frac{19}{20} \end{array}]$

Passaggio 2.5

The right half of the reduced row echelon form is the inverse.

$[\begin{array}{c} - 4 & \frac{1}{4} & - \frac{13}{4} \\ - 3 & \frac{1}{4} & - \frac{9}{4} \\ - \frac{6}{5} & \frac{3}{20} & - \frac{19}{20} \end{array}]$

Passaggio 3

Moltiplica a sinistra entrambi i lati dell'equazione della matrice per la matrice inversa.

$([\begin{array}{c} - 4 & \frac{1}{4} & - \frac{13}{4} \\ - 3 & \frac{1}{4} & - \frac{9}{4} \\ - \frac{6}{5} & \frac{3}{20} & - \frac{19}{20} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 2 & - 5 & 5 \\ - 3 & - 2 & 15 \\ - 3 & 6 & - 5 \end{array}]) \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - 4 & \frac{1}{4} & - \frac{13}{4} \\ - 3 & \frac{1}{4} & - \frac{9}{4} \\ - \frac{6}{5} & \frac{3}{20} & - \frac{19}{20} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 28 \\ 35 \\ 33 \end{array}]$

Passaggio 4

Qualsiasi matrice moltiplicata per il suo inverso è sempre uguale a

$1$ .

$A \cdot A^{- 1} = 1$ .

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - 4 & \frac{1}{4} & - \frac{13}{4} \\ - 3 & \frac{1}{4} & - \frac{9}{4} \\ - \frac{6}{5} & \frac{3}{20} & - \frac{19}{20} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 28 \\ 35 \\ 33 \end{array}]$

Passaggio 5

Moltiplica

$[\begin{array}{c} - 4 & \frac{1}{4} & - \frac{13}{4} \\ - 3 & \frac{1}{4} & - \frac{9}{4} \\ - \frac{6}{5} & \frac{3}{20} & - \frac{19}{20} \end{array}] [\begin{array}{c} 28 \\ 35 \\ 33 \end{array}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is

$3 \times 3$ and the second matrix is

$3 \times 1$ .

Passaggio 5.2

Moltiplica ogni riga nella prima matrice per ogni colonna nella seconda matrice.

$[\begin{array}{c} - 4 \cdot 28 + \frac{1}{4} \cdot 35 - \frac{13}{4} \cdot 33 \\ - 3 \cdot 28 + \frac{1}{4} \cdot 35 - \frac{9}{4} \cdot 33 \\ - \frac{6}{5} \cdot 28 + \frac{3}{20} \cdot 35 - \frac{19}{20} \cdot 33 \end{array}]$

Passaggio 5.3

Semplifica ogni elemento della matrice moltiplicando tutte le espressioni.

$[\begin{array}{c} - \frac{421}{2} \\ - \frac{299}{2} \\ - \frac{597}{10} \end{array}]$

Passaggio 6

Semplifica il lato destro e sinistro.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{421}{2} \\ - \frac{299}{2} \\ - \frac{597}{10} \end{array}]$

Passaggio 7

Trova la soluzione.

$x = - \frac{421}{2}$

$y = - \frac{299}{2}$

$z = - \frac{597}{10}$